لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3)

+2تصويتات

125مشاهدات

لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3) ?qa=blob&qa_blobid=10588961615972861177

رياضيات
هندسة
علوم

سُئل أغسطس 8 في تصنيف رياضيات بواسطة طارق هاو (43,580 نقاط)

2 إجابة

+1تصويت

أفضل إجابة

لا أعلم لم غاب محمد عنا ولكنه كان قد بدأ بتحليل المسألة بشكل صحيح ولو أن النتائج الأخيرة كانت معكوسة سهواً. سنعيد إيضاح المسائل على طريقته هنا لنستنتج أن متوازي المستطيلات يكون الأقل حجماً يليه المكعب ثم الكرة.

عند تكافؤ المساحات السطحية تكون:

المساحة السطحية للكرة التي نصف قطرها
[ltr]r[/ltr]

= المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات الذي أبعاده
[ltr]x,y,z[/ltr]

= المساحة السطحية للمكعب الذي طول ضلعه
[ltr]a[/ltr]

.

أي أن
[ltr]4πr2=2(xy+yz+zx)=6a2[/ltr]

وتكون العلاقة بين نصف قطر الكرة وبين طول ضلع المكعب هي

[ltr]a=r23π−−−√[/ltr]

وتكون نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب هي

[ltr]43πr3a3=43πr3(r23π−−−√)3=6π−−√≈1.382>1[/ltr]

وهذا يعني أن حجم الكرة أكبر دائماً من حجم المكعب المكافئ لها في المساحة السطحية.

بنفس الطريقة سنعقد مقارنة بين حجم المكعب وبين حجم متوازي المستطيلات ولكن أولاً سنحاول الربط بين طول ضلع المكعب وبين أبعاد متوازي المستطيلات من مساواة المساحة السطحية لنحصل على

[ltr]a=xy+yz+zx3−−−−−−−−−−−√=xyz3(1x+1y+1z)−−−−−−−−−−−−−−√[/ltr]

وتكون نسبة حجم المكعب إلى حجم متوازي المستطيلات هي

[ltr]a3xyz=13(1x+1y+1z)xyz3(1x+1y+1z)−−−−−−−−−−−−−−√[/ltr]

لاحظ من متباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي أن

[ltr]13(1x+1y+1z)≥(1xyz)1/3[/ltr]

بالإفادة من هذه المتباينة في علاقتنا نحصل على

[ltr]a3xyz≥(1xyz)1/3xyz(1xyz)1/3−−−−−−−−−−√[/ltr]

والتي يمكن تبسيطها أكثر والخروج بأن

[ltr]a3xyz≥1[/ltr]

وهذا يعني أن حجم متوازي المستطيلات هو أصغر أو يساو حجم المكعب. في الحقيقة شرط المساواة هو حالة خاصة تتحقق فقط عند تساوي الأبعاد
[ltr]x=y=z[/ltr]

والتي نشتق منها حالة المكعب نفسه.
لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3) ?qa=image&qa_blobid=11081066362488097814&qa_size=40

تم الرد عليه أغسطس 11 بواسطة إجابة هاو (53,990 نقاط)
مختارة أغسطس 11 بواسطة طارق

وان شاء الله ان يعجبكم

وشكرا لكمممممم

لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3)

لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3)

رد: لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3)

رد: لو تساوت مساحة متوازي مستطيلات وكرة ومكعب ايهما يكون الاقل حجما ؟ (3)