اللوغاريتمات
صفحة 1 من اصل 1
اللوغاريتمات
اللوغاريتمات
مفهوم اللوغاريتم The Concept of Logarithm
تمهيد : اللوغاريتمات هي موضوع أساس في علم الرياضيات كما أنها أساسية في عمل وتنظيم برامج الحاسوب ، وفي الكثير من القوانين العلمية الهامة مثل حساب أعمار الصخور ، وعمر الكون ، وأعمار اللوحات والآثار القديمة ، ودرجة الحموضة وغيرها .
رمز اللوغاريتم في كتب الرياضيات : إذا فتحت كتاباً في الرياضيات لدراسة موضوع اللوغاريتمات Logarithms تجد أن الكلمة تختصر ويستخدم لها رمزاً بسيطاً هو " لو" في الكتب العربية و " Log " في الكتب باللغة الإنجليزية ، ونلفت انتباه الدارسين هنا إلى أن الكتب العربية والإنجليزية قد تستخدم رموزاً أخرى غير ما ذكرنا أعلاه فهذه رموز غير ملزمة وغير متفق عليها دولياً .
أمثلة :
Log9 81 = 2
1) لـو9 81 = 2
Log5 3125 = 5
2) لـو5 3125 = 5
Log10 1000 = 3
3) لـو10 1000 = 3
والمثال (3) استخدمنا فيه الأساس (10) وبالنظر لأن نظامنا العددي هو نظام عشري (آحاد ، عشرات ، مئات ... الخ حيث كل منزلة أكبر من سابقتها بعشر مرات) ، فقد اتفق العلماء منذ زمن بعيد على استخدام لوغاريتم الأعداد للأساس (10) في الرياضيات ، لذلك نستخدم في كتبنا وكتابتنا المختصر لو فقط للدلالة على اللوغاريتم الذي أساسه (10) فلا نكتب لو10010 = 2 بل نكتب لو100 = 2 .
ولكن اللوغاريتمات موجودة لأساسات أخرى غير العشرة كما شاهدنا ، فقد يكون الأساس 2 ، 3 ، 4 ... الخ في مثل هذه الحالات نضع الأساس مع الرمز لو وبذلك نعرف أن المقصود ليس اللوغاريتم العشري .
اللوغاريتمات
استخدام الآلة الحاسبة في إيجاد لوغاريتمات الأعداد
تمهيد : تستخدم الآلات الحاسبة في هذه الأيام في الكثير من العمليات الحسابية البسيطة والمعقدة ، ويمكنك الحصول على لوغاريتمات الأعداد من الآلات الحاسبة العلمية بسهولة .
إيجاد لوغاريتم العدد باستخدام الآلة .
مثال (1) : أوجد لوغاريتم العدد 7.75 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 7.75 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو : 0.889301702
وبالطبع يمكنك أن تقرب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل ولنوضح ذلك بالأمثلة التالية :
لو 7.75 = 0.8893 مقرباً لأربع منازل عشرية .
= 0.889 مقرباً لثلاث منازل عشرية .
= 0.89 مقرباً لمنزلتين عشريتين .
= 0.9 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .
مثال (2) : أوجد لوغاريتم العدد 47 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 47 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو 1.672097858 . لاحظ أنك حصلت على
اللوغاريتم كاملاً العدد البياني والجزء العشري وهي بهذا تختلف عن الجداول التي لا تعطي
العدد البياني .
ويمكن تقريب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل :
لو 47 = 1.6721 مقرباً لأربع منازل عشرية .
= 1.672 مقرباً لثلاث منازل عشرية .
= 1.67 مقرباً لمنزلتين عشريتين .
= 1.7 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .
كيف نجد لوغاريتم عدد معروف
أولاً : إيجاد لوغاريتمات الأعداد باستخدام الجداول اللوغاريتمية
1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، ... إلخ
نعلم أن 1 = 10صفر إذن لو1 = صفر
10 = 10 1 إذن لو10 = 1
100 = 10 2 إذن لو 100 = 2
للمناقشة : كم لو 100000 ؟
ثانياً : لوغاريتمات الأعداد
، 0.01 ، 0.001 ... الخ
0.1
قبل أن نستطرد في تحديد لوغاريتمات هذه الأعداد علينا أن نذكر الدارسين بأن
0.1 = 10 -1 وأن 0.01 = 10 -2 ، وأن 0.001 = 10 -3 ... وهكذا
أثبت أن 0.1 = 10-1
؟
الحل : ما ناتج
= 0.1
إذن ونكتبه بطريقة أخرى هي 0.1
الجواب بديهي وهو
إذن 0.1 = 10-1
لأن 100 = 10 2
=
ولكن
وبطريقة مماثلة 0.01 = 10-2 ¬ 0.001 = 10-3 ... وهكذا
بما أن
0.01 = 10-2 إذن لو 0.01 = ـ2
0.1 = 10-1 إذن لو 0.1 = ـ1
0.001 = 10-3 إذن لو 0.001 = ـ3
للمناقشة : كم لو 0.000001 ؟
الحل : 0.000001 = 10-6
إذن 0.000001 = لو 10 -6 = -6
الخلاصة :
إذا أمكن التعبير عن العدد بالطريقة 10ن حيث ن عدد صحيح موجب أو سالب أو صفر أي إذا كان
س = 10ن ، فإن لو س = ن حيث ن عدد صحيح أو صفر كما فرضنا أعلاه .
باختصار : لوغاريتم العدد 1 = صفر ، أما الأعداد 10 و 100 و 1000 الخ ... فلوغاريتمها عدداً صحيحاً موجباً ، وأما الأعداد 0.1 ، 0.01 ، 0.001 فلوغاريتمها عدداً صحيحاً سالباً .
مفهوم اللوغاريتم The Concept of Logarithm
تمهيد : اللوغاريتمات هي موضوع أساس في علم الرياضيات كما أنها أساسية في عمل وتنظيم برامج الحاسوب ، وفي الكثير من القوانين العلمية الهامة مثل حساب أعمار الصخور ، وعمر الكون ، وأعمار اللوحات والآثار القديمة ، ودرجة الحموضة وغيرها .
رمز اللوغاريتم في كتب الرياضيات : إذا فتحت كتاباً في الرياضيات لدراسة موضوع اللوغاريتمات Logarithms تجد أن الكلمة تختصر ويستخدم لها رمزاً بسيطاً هو " لو" في الكتب العربية و " Log " في الكتب باللغة الإنجليزية ، ونلفت انتباه الدارسين هنا إلى أن الكتب العربية والإنجليزية قد تستخدم رموزاً أخرى غير ما ذكرنا أعلاه فهذه رموز غير ملزمة وغير متفق عليها دولياً .
أمثلة :
Log9 81 = 2
1) لـو9 81 = 2
Log5 3125 = 5
2) لـو5 3125 = 5
Log10 1000 = 3
3) لـو10 1000 = 3
والمثال (3) استخدمنا فيه الأساس (10) وبالنظر لأن نظامنا العددي هو نظام عشري (آحاد ، عشرات ، مئات ... الخ حيث كل منزلة أكبر من سابقتها بعشر مرات) ، فقد اتفق العلماء منذ زمن بعيد على استخدام لوغاريتم الأعداد للأساس (10) في الرياضيات ، لذلك نستخدم في كتبنا وكتابتنا المختصر لو فقط للدلالة على اللوغاريتم الذي أساسه (10) فلا نكتب لو10010 = 2 بل نكتب لو100 = 2 .
ولكن اللوغاريتمات موجودة لأساسات أخرى غير العشرة كما شاهدنا ، فقد يكون الأساس 2 ، 3 ، 4 ... الخ في مثل هذه الحالات نضع الأساس مع الرمز لو وبذلك نعرف أن المقصود ليس اللوغاريتم العشري .
اللوغاريتمات
استخدام الآلة الحاسبة في إيجاد لوغاريتمات الأعداد
تمهيد : تستخدم الآلات الحاسبة في هذه الأيام في الكثير من العمليات الحسابية البسيطة والمعقدة ، ويمكنك الحصول على لوغاريتمات الأعداد من الآلات الحاسبة العلمية بسهولة .
إيجاد لوغاريتم العدد باستخدام الآلة .
مثال (1) : أوجد لوغاريتم العدد 7.75 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 7.75 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو : 0.889301702
وبالطبع يمكنك أن تقرب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل ولنوضح ذلك بالأمثلة التالية :
لو 7.75 = 0.8893 مقرباً لأربع منازل عشرية .
= 0.889 مقرباً لثلاث منازل عشرية .
= 0.89 مقرباً لمنزلتين عشريتين .
= 0.9 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .
مثال (2) : أوجد لوغاريتم العدد 47 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 47 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو 1.672097858 . لاحظ أنك حصلت على
اللوغاريتم كاملاً العدد البياني والجزء العشري وهي بهذا تختلف عن الجداول التي لا تعطي
العدد البياني .
ويمكن تقريب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل :
لو 47 = 1.6721 مقرباً لأربع منازل عشرية .
= 1.672 مقرباً لثلاث منازل عشرية .
= 1.67 مقرباً لمنزلتين عشريتين .
= 1.7 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .
كيف نجد لوغاريتم عدد معروف
أولاً : إيجاد لوغاريتمات الأعداد باستخدام الجداول اللوغاريتمية
1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، ... إلخ
نعلم أن 1 = 10صفر إذن لو1 = صفر
10 = 10 1 إذن لو10 = 1
100 = 10 2 إذن لو 100 = 2
للمناقشة : كم لو 100000 ؟
ثانياً : لوغاريتمات الأعداد
، 0.01 ، 0.001 ... الخ
0.1
قبل أن نستطرد في تحديد لوغاريتمات هذه الأعداد علينا أن نذكر الدارسين بأن
0.1 = 10 -1 وأن 0.01 = 10 -2 ، وأن 0.001 = 10 -3 ... وهكذا
أثبت أن 0.1 = 10-1
؟
الحل : ما ناتج
= 0.1
إذن ونكتبه بطريقة أخرى هي 0.1
الجواب بديهي وهو
إذن 0.1 = 10-1
لأن 100 = 10 2
=
ولكن
وبطريقة مماثلة 0.01 = 10-2 ¬ 0.001 = 10-3 ... وهكذا
بما أن
0.01 = 10-2 إذن لو 0.01 = ـ2
0.1 = 10-1 إذن لو 0.1 = ـ1
0.001 = 10-3 إذن لو 0.001 = ـ3
للمناقشة : كم لو 0.000001 ؟
الحل : 0.000001 = 10-6
إذن 0.000001 = لو 10 -6 = -6
الخلاصة :
إذا أمكن التعبير عن العدد بالطريقة 10ن حيث ن عدد صحيح موجب أو سالب أو صفر أي إذا كان
س = 10ن ، فإن لو س = ن حيث ن عدد صحيح أو صفر كما فرضنا أعلاه .
باختصار : لوغاريتم العدد 1 = صفر ، أما الأعداد 10 و 100 و 1000 الخ ... فلوغاريتمها عدداً صحيحاً موجباً ، وأما الأعداد 0.1 ، 0.01 ، 0.001 فلوغاريتمها عدداً صحيحاً سالباً .
ابو البراء- مشرف
- عدد المساهمات : 1396
تاريخ التسجيل : 13/10/2009
صفحة 1 من اصل 1
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى