اللوغاريتمات

من طرف **ابو البراء** الإثنين ديسمبر 06, 2010 9:51 am

اللوغاريتمات

مفهوم اللوغاريتم The Concept of Logarithm

تمهيد : اللوغاريتمات هي موضوع أساس في علم الرياضيات كما أنها أساسية في عمل وتنظيم برامج الحاسوب ، وفي الكثير من القوانين العلمية الهامة مثل حساب أعمار الصخور ، وعمر الكون ، وأعمار اللوحات والآثار القديمة ، ودرجة الحموضة وغيرها .

رمز اللوغاريتم في كتب الرياضيات : إذا فتحت كتاباً في الرياضيات لدراسة موضوع اللوغاريتمات Logarithms تجد أن الكلمة تختصر ويستخدم لها رمزاً بسيطاً هو " لو" في الكتب العربية و " Log " في الكتب باللغة الإنجليزية ، ونلفت انتباه الدارسين هنا إلى أن الكتب العربية والإنجليزية قد تستخدم رموزاً أخرى غير ما ذكرنا أعلاه فهذه رموز غير ملزمة وغير متفق عليها دولياً .

أمثلة :

Log9 81 = 2
1) لـو9 81 = 2

Log5 3125 = 5
2) لـو5 3125 = 5

Log10 1000 = 3
3) لـو10 1000 = 3

والمثال (3) استخدمنا فيه الأساس (10) وبالنظر لأن نظامنا العددي هو نظام عشري (آحاد ، عشرات ، مئات ... الخ حيث كل منزلة أكبر من سابقتها بعشر مرات) ، فقد اتفق العلماء منذ زمن بعيد على استخدام لوغاريتم الأعداد للأساس (10) في الرياضيات ، لذلك نستخدم في كتبنا وكتابتنا المختصر لو فقط للدلالة على اللوغاريتم الذي أساسه (10) فلا نكتب لو10010 = 2 بل نكتب لو100 = 2 .

ولكن اللوغاريتمات موجودة لأساسات أخرى غير العشرة كما شاهدنا ، فقد يكون الأساس 2 ، 3 ، 4 ... الخ في مثل هذه الحالات نضع الأساس مع الرمز لو وبذلك نعرف أن المقصود ليس اللوغاريتم العشري .

اللوغاريتمات

استخدام الآلة الحاسبة في إيجاد لوغاريتمات الأعداد

تمهيد : تستخدم الآلات الحاسبة في هذه الأيام في الكثير من العمليات الحسابية البسيطة والمعقدة ، ويمكنك الحصول على لوغاريتمات الأعداد من الآلات الحاسبة العلمية بسهولة .

إيجاد لوغاريتم العدد باستخدام الآلة .

مثال (1) : أوجد لوغاريتم العدد 7.75 باستخدام الآلة الحاسبة .

الحل : 1) اضغط log .

2) اضغط العدد 7.75 .

3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو : 0.889301702

وبالطبع يمكنك أن تقرب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل ولنوضح ذلك بالأمثلة التالية :

لو 7.75 = 0.8893 مقرباً لأربع منازل عشرية .

= 0.889 مقرباً لثلاث منازل عشرية .

= 0.89 مقرباً لمنزلتين عشريتين .

= 0.9 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .

مثال (2) : أوجد لوغاريتم العدد 47 باستخدام الآلة الحاسبة .

الحل : 1) اضغط log .

2) اضغط العدد 47 .

3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو 1.672097858 . لاحظ أنك حصلت على

اللوغاريتم كاملاً العدد البياني والجزء العشري وهي بهذا تختلف عن الجداول التي لا تعطي

العدد البياني .

ويمكن تقريب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل :

لو 47 = 1.6721 مقرباً لأربع منازل عشرية .

= 1.672 مقرباً لثلاث منازل عشرية .

= 1.67 مقرباً لمنزلتين عشريتين .

= 1.7 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .

كيف نجد لوغاريتم عدد معروف

أولاً : إيجاد لوغاريتمات الأعداد باستخدام الجداول اللوغاريتمية

1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، ... إلخ

نعلم أن 1 = 10صفر إذن لو1 = صفر

10 = 10 1 إذن لو10 = 1

100 = 10 2 إذن لو 100 = 2

للمناقشة : كم لو 100000 ؟

ثانياً : لوغاريتمات الأعداد

، 0.01 ، 0.001 ... الخ

0.1

قبل أن نستطرد في تحديد لوغاريتمات هذه الأعداد علينا أن نذكر الدارسين بأن

0.1 = 10 -1 وأن 0.01 = 10 -2 ، وأن 0.001 = 10 -3 ... وهكذا

أثبت أن 0.1 = 10-1

؟
الحل : ما ناتج

= 0.1
إذن ونكتبه بطريقة أخرى هي 0.1

الجواب بديهي وهو

إذن 0.1 = 10-1
لأن 100 = 10 2
=
ولكن

وبطريقة مماثلة 0.01 = 10-2 ¬ 0.001 = 10-3 ... وهكذا

بما أن

0.01 = 10-2 إذن لو 0.01 = ـ2
0.1 = 10-1 إذن لو 0.1 = ـ1

0.001 = 10-3 إذن لو 0.001 = ـ3

للمناقشة : كم لو 0.000001 ؟

الحل : 0.000001 = 10-6

إذن 0.000001 = لو 10 -6 = -6

الخلاصة :

إذا أمكن التعبير عن العدد بالطريقة 10ن حيث ن عدد صحيح موجب أو سالب أو صفر أي إذا كان

س = 10ن ، فإن لو س = ن حيث ن عدد صحيح أو صفر كما فرضنا أعلاه .

باختصار : لوغاريتم العدد 1 = صفر ، أما الأعداد 10 و 100 و 1000 الخ ... فلوغاريتمها عدداً صحيحاً موجباً ، وأما الأعداد 0.1 ، 0.01 ، 0.001 فلوغاريتمها عدداً صحيحاً سالباً .