المفاهيم الرياضية

المفاهيم الرياضية

المفاهيم الرياضية هي تجريد الصفات الأساسية التي تعطي لمصطلح ما معناه الرياضي.

ويعرّف المفهوم في الرياضيات على انه تكوين عقلي نشأ عن تجريد خاصية أو اكثر من مواقف متعددة يتوفر في كل منها هذه الخاصية .حيث تعزل هذه الخاصية مما يحيط في أي من المواقف وتعطى اسما يعبر عنه بلفظ أو رمز . فخاصية "الأثنينية " مثلا ما هي إلا تجريد عقلي للخاصية المشتركة الموجودة في مواقف متعددة مثل العينين والقدمين والذراعين والأبوين………………..الخ، ومع تجريد هذه الخاصية فإن المفهوم "2" لا شأن له بالأعين أو الأبوين أو أي من المواقف الخاصة التي من بين خواصها أنها " اثنان "

والمفهوم الرياضي يجب أن تتوفر فيه الشروط التالية :

أولا : أن يكون مصطلحا أو رمزا ذو دلالة لفظية أي يمكن تعريفه.

ثانياً: أن يكون تجريدا للخصائص المشتركة لمجموعه من الحقائق أو المواقف غير المتشابهة تماما.

ثالثاً: أن يكون شاملا في تطبيقه فلا يشير إلى موقف معين بل يشير إلى كافة المواقف التي تتضمنها مجموعة ما.

كيف نــــعـــــرّف المفاهيم

ولا بد أن نفصّل هنا في كيفية تعريف المفهوم وأقول أن تعريف المفهوم عبارة عن متساوية أحد طرفيها مصطلح ( اسم المفهوم ) وطرفها الآخر جمله خبرية شارحة لها بحيث يـمكن التعويض عن أحدهما بالآخر .

وللتوضيح نشير إلى أن عبارة " المستقيم مجموعة غير منتهية من النقط لا تمثل تعريفا للمستقيم لأننا نستطيع أن نعوض عن المستقيم بمجموعة من النقط لكن لا يمكننا أن نعوض عن مجموعة النقط بالمستقيم.إذ أن مجموعة النقط يمكن أن تكون أي شكل هندسي لذلك لا يمكن ان نضع تعريفاً للمستقيم .وعندما نقول أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي مستو فإن هذا أيضا لا يمثل تعريفا ولكن الشكل الرباعي المستوي مجرد أحد خواص متوازي الأضلاع ولكننا عندما نتحدث عن شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان فإننا بذلك عرفنا متوازي الأضلاع ولا شيء غير متوازي الأضلاع وإذا ذكرنا أن "متوازي الأضلاع شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان "فإننا بذلك نكون قد أضفنا مزيدا من الخواص لسنا في حاجة إليها في التعريف إذ أن كون كل ضلعين متقابلين متوازيان أمر لازم وهو هنا أيضا كاف ويمكن أن نشتق منه خواصا أخرى مثل أن كل ضلعين متقابلين متساويان والقطران فيه ينصف كل منهما الآخر.

تصنيف المفاهيم الرياضية

تنقسم المفاهيم الرياضية إلى قسمين رئيسين هما

مفاهيم رياضية غير معرفة وهي مفاهيم بدون تعريف ولكن يمكن تحديد بعض خواصها مثل: العدد ، النقطة ، المستقيم فعندما نقول أن المستقيم مجموعة غير منتهية من النقط فإن هذا ليس تعريفا ولكن خاصية من خواص المستقيم ، فليس كل مجموعة لا نهائية من النقط تكون مستقيما.

مفاهيم معرفة وهي مفاهيم يمكن التعبير عنها بصياغات لفظية شارحه لها بدلالة مفاهيم أخرى ابسط منها أو سبق تعريفها أو توضيحها مثل: المربع ، المكعب متوازي المستطيلات . فنقول أن متوازي الأضلاع هو " شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان" ونلاحظ هنا أن اللفظ " متوازي الأضلاع "يمكن أن يحل محل التقرير" شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان" وكذلك التقرير لا يمكن التعبير عنه إلا بلفظ " متوازي الأضلاع " بعكس المستقيم في المفاهيم الغير معرفة.

مفاهيم العدد

مفاهيم الفراغ

مفاهيم القياس

مثال (2)

مفهوم العبارة العددية ومفهوم العبارة الرياضية

(المرحلة المتوسطة)

كتمهيد لهذين المفهومين يجب التأكد من استيعاب التلاميذ لمفهوم المتغير حيث انه متطلب لهما

أعط الأمثلة: أ)5 + 9 = 14 ، ب) 6 = 10 - 4

ج) 3 + س = 20 ، د) 2 = ص + 5

يسجل التلاميذ ملاحظاتهم على العبارات ( أ ، ب كلها أعداد ، ج ، د أعداد ومتغيرات )

تسمى العبارات أ ، ب عبارات عددية

أمثلة إيجابية لمفهوم العبارة العددية : 15 = 20 – 5 ، 12 × 3 = 36

أمثلة سلبية لمفهوم العبارة العددية : س + 2 = 9 ؛ 5ص= 14

تسمى العبارات ج ، د عبارات رياضية

أمثلة إيجابية لمفهوم العبارة الرياضية : 45 = ص +6 ، 2س +3 = 5

أمثلة سلبية لمفهوم العبارة الرياضية : 60 – 10 = 50 ، 7 × 3 = 21

تعميق للمفهوم :

هل العبارة ( س + 3 = 15 ) عبارة عددية ؟ لماذا؟ [ ليست عبارة عددية لأنها تحوي متغير س ]

هل العبارة ( 6 + 6 = 12 ) عبارة عددية ؟ لماذا؟ [ نعم عبارة عددية لأنها تحوي اعداداً فقط]

هل العبارة ( 2ص- 5 = 13) عبارة رياضية ؟لماذا؟ [ نعم عبارة رياضية لأنها تحوي اعداداً ومتغير]

تطبيق :أ) ضع خطاً تحت العبارة الرياضية وخطين تحت العبارة العددية

( س+6=2 ، 7 + 1 = 8 ، 2ع – 3 =-5 ، -12 = -2 × 6 )

ب) أعط مثال لعبارة عددية وآخر لعبارة رياضية

صياغة التعريف بمشاركة التلاميذ

العبارة الرياضية هي عبارة تحوي …………….و………………… [ أعداد ومتغيرات ]

العبارة العددية هي عبارة تحوي ………………..فقط [ أعداد ]

مثال (3)

مفهوم الانحراف المعياري

(المرحلة الثانوية)

من خلال دراستنا تبين انه من الممكن أن نعطي تعريف المفهوم في البداية في المراحل العليا

الانحراف المعياري هو : مقياس يبين مدى تقارب القراءات وتباعدها لظاهرة معينة عن وسطها الحسابي

تمهيد : التنبيه على مفهوم الوسط الحسابي كمتطلب لاستيعاب مفهوم الانحراف المعياري

مثال : لا حظ القراءات التالية والتي تمثل درجات طالبين في مواد الرياضيات والكيمياء والفيزياء والأحياء في اختبار منتصف الفصل الدراسي .

درجات الطالب الأول : 12 ، 13 ، 14.5 ، 15

درجات الطالب الثاني : 3 ، 9 ، 7 ، 14

استعرض ملاحظات الطلاب على القراءات المسجلة لدرجات الطالبين ( التركيز على كلمة القراءات حتى لا يرتبط مفهوم الانحراف المعياري لدى بعض الطلاب بالدرجات )

تسجل ملاحظات الطلاب على السبورة ( القراءات للطالب الأول متقاربة وللطالب الثاني متباعدة )

كيف نقيس تقارب القراءات أو تباعدها ؟ وعن أي شي تبعد القراءات ومن ماذا تقترب ؟

الإجابة طبعا يجدها الطلاب في تعريف الانحراف المعياري

أمثلة لقراءات انحرافها المعياري صغير

أ) ( أوزان خمسة طلاب بالكجم : 37 ، 40 ، 43 ، 45 47)

ب) ( أجور أربعة عمال في اليوم بالريال : 75 ، 80 ، 85 ، 90 )

أمثلة لقراءات انحرافها المعياري كبير

أ) ( درجات أربعة طلاب في مادة الرياضيات : 1 ، 7 ، 11 ، 15 )

ب) ( أوزان خمسة طلاب في مدرسة ثانوية بالكجم : 37 ، 60 ، 80 ، 81 ، 110 )

تدعيم للمفهوم :
أ) أعط أمثلة لقراءات انحرافها المعياري صغير

ب) أعط أمثلة لقراءات انحرافها المعياري كبير

ج) اكمل الفراغ فيما يلي

يكون الانحراف المعياري …………. عندما تكون القراءات قريبه من وسطها الحسابي

يكون الانحراف المعياري …………. عندما تكون القراءات بعيدة عن وسطها الحسابي

بعد ان يستوعب الطلاب مفهوم الانحراف المعياري يبدأ المعلم بشرح طريقة حسابه بالقانون