مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية - مبادئ أولية في الحسابيات (2)

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية - مبادئ أولية في الحسابيات
ة



[rtl]
مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية - مبادئ أولية في الحسابيات الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الخالية من أي كسور. تتكون من الأعداد الطبيعية ( بما في ذلك الصفر ) (0, 1, 2, 3, ...), بالإضافة إلى مقابل الأعداد الطبيعية غير المساوية للصفر (1-, 2-, 3-, ...). على سبيل المثال، 21 و 4 و 2048- هي أعداد صحيحة بينما 9.75 و \sqrt{2} هي أعداد غير صحيحة.[/rtl]

1 مفهوم الأعداد الطبيعية

2 الأعداد الزوجية والأعداد الفردية

3 مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجية

4 اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية



• 4.1 عن طريق القسمة المتكررة
  
• 4.2 الغرابيل
  
• 4.3 اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
  




5 تحليل عدد صحيح

6 خصائص الأعداد الأولية



• 6.1 أمثلة
  
• 6.2 تعريف
  
• 6.3 إضافات
  




7 تطبيق

[rtl]

مفهوم الأعداد الطبيعية[عدل]
العدد الطبيعي هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563. ويضيف بعض العلماء الصفر إلى هذه المجموعة من الأعداد. يرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N. و هي مجموعة أعداد غير منتهية. يمثل 1 أصغرها، ويتم إنشاؤها بواسطة علاقة الترجع: كل عدد طبيعي له موال وهو أيضا عدد صحيح طبيعي, 1 عدد صحيح طبيعي.
أي: "1 عدد طبيعي، وإذا كان  عدداً طبيعياً، فإن  عدد طبيعي أيضاً."
وكل مجموعة مرتبة تخضع لأكسيومات بيانو تسمى مجموعة أعداد طبيعية. ويُرمز إلى هذه المجموعة ب N أو يرمز إليها ب *N إذا حذف منها الصفر. بعض الرياضيين لا يعتبرون الصفر عددا صحيحا طبيعيا.[/rtl]

• ومن خصائصها الجبرية : الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب
  
• التجميعة، الضرب عملية تجميعية: (c × b) × a = (c × b) × a.
  
• التبادلية، الجمع عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة :a + b = b + a. الضرب عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية : تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة : a × b = b × a.
  
• وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
  

• توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية :a × (b + c) = a × b + a × c
  

• لا وجود لقواسم الصفر, إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0..
  

[rtl]
الأعداد الزوجية والأعداد الفردية[عدل]
العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة. نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.[/rtl]

• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
  
  
  
  • عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: .
    
  • عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال: .
    
  
  
  
  
• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
  
  
  
  • عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: .
    
  
  

• ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال:  .
  
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال:  ي
  
• ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال:  .
  

[rtl]
عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:[/rtl]

• إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة :  .
    
  
  
  
  
• إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  
  
  
• إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  
  
  
• إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  

[rtl]
مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجية[عدل]
حدسية غولدباخحدسية غولدباخ تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. (ملاحظة: هذه الحدسية لم تُثبت بعد).الأعداد المثاليةالعدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه بما فيها 1، اكتشف ما يزيد على 40 عدد زوجي مثالي (أصغر عدد زوجي مثالي هو 6 حيث 6 = 1+2+3)، ولا يعرف أيوجد عدد فردي مثالي أم لا؟ عدد مثل هذا يجب أن يكون أكبر من .الأعداد الأوليةالعدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2 وبقية الأعداد الأولية الأخرى فردية.
العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعا من 1, يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط. عدد طبيعي أكبر قطعا من 1 وليس أوليا يدعى عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد : كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هاته المجموعة). هاته المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.[/rtl]