كسر مستمر(1)
يساوي7 :: العام :: المنتدى العام
صفحة 1 من اصل 1
كسر مستمر(1)
كسر مستمر
[rtl]
في الرياضيات، الكسر المستمر هو كسر يأخذ الصيغة التالية :
حيث a0 عدد صحيح والاعداد (ai (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.
[/rtl]
تحفيز[عدل]
الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:
حيث a0 عدد صحيح، وكل ai آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (ai) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).
لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].
لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
[/font][/rtl]
حساب تمثيل الكسور المستمرة[عدل]
ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.
لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.
[/font][/rtl]
كسر مستمر منته, حيث n عدد صحيح موجب وa0عدد صحيح, و ai عدد صحيح موجب بالنسبة إلىi=1,…,n.
في الرياضيات، الكسر المستمر هو كسر يأخذ الصيغة التالية :
حيث a0 عدد صحيح والاعداد (ai (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.
[/rtl]
[rtl]محتويات
[أخف] [/rtl]
[أخف] [/rtl]
- 1 تحفيز
- 2 حساب تمثيل الكسور المستمرة
- 3 صور الكسور المستمرة
- 4 الكسور المستمرة المنتهية
- 5 الكسور المستمرة للمقاليب
- 6 الكسور المستمرة غير المنتهية
- 7 بعض المبرهنات المفيدة
- 7.1 نظرية 1
- 7.2 نظرية 2
- 7.3 نظرية 3
- 8 نشر π في كسر مستمر
- 9 أنماط منتظمة من الكسور المستمرة
- 10 القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
- 11 تاريخ الكسور المستمرة
- 12 انظر أيضا
- 13 وصلات خارجية
تحفيز[عدل]
الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:
حيث a0 عدد صحيح، وكل ai آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (ai) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).
لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].
لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
[/font][/rtl]
- تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
- تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
- لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
- تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
- بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
- تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.
حساب تمثيل الكسور المستمرة[عدل]
ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.
لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.
[/font][/rtl]
توقف | ||||
محمد جهاد الجبارين- عضو متقدم
- عدد المساهمات : 1448
تاريخ التسجيل : 11/11/2013
العمر : 22
الموقع : الدوارة\سعير \ الخليل
العمل/الترفيه : طالب مجتهد
المزاج : ممتاز
يساوي7 :: العام :: المنتدى العام
صفحة 1 من اصل 1
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى