أطفال + تخمين = قوة الرياضيات

من طرف **ابو البراء** الخميس ديسمبر 16, 2010 1:15 pm

أطفال + تخمين = قوة الرياضيات
Kids + Conjecture = MATHEMATICS POWER

سؤال للتخمين: إذا قسمت أي عدد على ضعفه يكون الناتج 1/ 2, ماعدا الصفر. تخيل هذا التصريح يقرأه تلاميذ الصف الثالث والرابع. ثم تخيل مناقشتهم في الفصل وهم يبحثون عن أمثلة للتوضيح. في مثل هذا الموقف حديث الطلاب عن الرياضيات ما هو
، (ومقاييس التقييم لمدرسة الرياضيات ( 1989 NCTM إلا تطوير لقوتهم الرياضية. طبقا لمنهج
الحدس وعرض الصلاحية المنطقية للتخمين هو جوهر الفعل المبدع في عمل الرياضيات - صفحة 81. المقاييس تُقيم
، التخمين هو الاستنتاج المستخلص من حقائق ناقصة. في فصلي، Webster الحدس كجزء ثمين في التعليم. طبقا لقاموس
: نعتبر التخمينات والاستنتاجات شيء جوهري في مجتمعنا التعليمي وذلك لأنها
تنمي قدرة التلاميذ بتقوية الملكية والبحث *
تزود التلاميذ بوسائل لبناء المعرفة الرياضية *
تخلق الفرص للتلاميذ لربط مواضيع الرياضيات المختلفة *

ما دور التخمين في تعليم الرياضيات؟ كيف يظهر التخمين القوة في الرياضيات؟ كيف ينمي التخمين الفهم ويشجع على ربط المعلومات؟ سنتحرى هذه الأسئلة في الأجزاء التالية

مجتمع التعليم يركز على أفكار التلاميذ وروح التعاون والبحث
تقييم واحترام تفكير التلاميذ، توفير مناخ متعاون، تنمية روح البحث، ثلاثة مظاهر مهمة في فصول المستويين الثالث والرابع. نحن يجب أن نعطي أهمية قصوى لأفكار التلاميذ عندما يبنون مدلولا حول الرياضيات. أسئلتهم وأفكارهم وتعليقاتهم وتخمينهم وأساليب ربط المعلومات، كلها أشياء هامة. فهم يتعلمون أن يخاطروا بمعتقداتهم وكذلك يشاركون بأفكارهم. المقدرة والرغبة في تطوير أساليبهم الخاصة سواء في حل المشاكل، أو معارضة أفكار طالب آخر، أو افتراض تخمين كلها تطور خلال السنة الدراسية

التلاميذ يقضون معظم وقتهم في مناقشات سواء في مجموعات صغيرة أو مع الفصل بأكمله. والترتيب الفيزيائي لفصلنا يعزز جهودنا. إننا نرتب مناضد الفصل بحيث تكفي ستة مجموعات في كل منها أربعة تلاميذ. نوفر وقتا لكل مجموعة صغيرة ونشجع أعضاءها على أن يتباحثوا مع شركائهم في نفس المنضدة. ونحن ندرك أن العديد من التخمينات تتولد عن طريق الاشتراك في مثل
وهو نقطة (overhead projector) هذه المناقشات. بعد المحادثات المنفصلة، المجموعات كلها تأخذ مكانا حول المسلط الضوئي
تركيز المحادثات وتوضيح الأفكار المختلفة، وخلال تلك المناقشات، يمكن للتلاميذ أن يتفاعلوا مع أفكار جمهور أوسع

طلابي ينشغلون في هذه المناقشات الرياضية في بيئة تستند على البحث. بالنسبة لنا، معنى التدريس والتعليم المستندان على البحث هو أن كل شخص يصبح خالقا للرياضيات. التلاميذ تتاح لهم الفرص لبناء المعرفة والتفكير عن طريق مناقشة المشاكل بأساليب تخلق الإحساس بهما، فهم يريدون أن يفهموا الرياضيات، وعندما يحتارون حول فكرة تزداد رغبتهم في أن يبحثوها ويشعرون بالثقة في مقدرتهم عندما يجدون حلا للمشاكل، خاصة وهم يعملون سويا

دور التخمين في مجتمع التعليم
التخمين ينبع من أفكار التلاميذ. فهم يخلقون تخمين بشكل فردي، أو مع زميل، أو مع مجموعة صغيرة. غالبا الأفكار التي يسمعونها أو يفكرون فيها خلال المناقشات تشعل التخمين. في بداية السنة الدراسية، التلاميذ عرَّفوا التخمين كفكرة يمكن تطبيقها على أكثر من عدد. وهم أيضا قرروا أن ذلك التخمين يجب أن يدعم بأمثلة. طلبت منهم أن يسجلون تخمينهم في دفاترهم الخاصة بالرياضيات ويكتبونها على الأوراق الشفافة لتحضيرها للمناقشة مع المجموعة الكاملة. وقد وجدت أن التخمين الذي يكتبونه يصبح أوضح مع الوقت والتنقيح . واحدة من مسؤولياتي كمعلم أن أحدد الوقت الأفضل لكل منهم لمشاركة باقي الفصل في تخمينه
كل تلميذ يقرأ تخمينه، ويعرض أمثلته، وباقي التلاميذ يطرحون الأسئلة، يوافقون أو يختلفون موضحين أسبابهم، ثم ينسخون التخمين في دفاتر ملاحظاتهم. يقرر الفصل صحة التخمين بعرض أمثلة متعارضة أو مدعمة مع التفسيرات. بمجرد أن يوافق الفصل على التخمين، نلصق به إعلانا على حائط خاص بالتخمينات ، ونكتب اسم التلميذ والتاريخ . حائط التخمين بمثابة تجميع تاريخي لأفكار التلاميذ

الحدس يوضح القوة الرياضية
تتضمن القوة الرياضية الثقة بالنفس فيما يتعلق بالرياضيات، وأيضا المقدرة على التفكير في المشاكل وتوصيل الأفكار والحلول للآخرين. فمن المهم للتلاميذ أن يتمكنوا من شرح الأفكار والحجج بوضوح، لأن التلميذ يكتسب ثقة بنفسه عندما يقف أمام زملاءه في الفصل ويشرح لهم أفكاره

بمجرد أن يلصق إعلان بالتخمين، يعتبره التلاميذ مرجعا لهم، وخلال المناقشات طبيعي أن تسمع طالب يشير إلى تخمين ما عندما يريد برهانا. استخدام هذا الأسلوب يساهم في بناء أفكارهم وأحيانا يظهر دليل جديد، فنراجع التخمين وفقا له

: التخمين مثل المسودات التحضيرية دائما يفتح للتغيير. كمثال، ماري وسامي ورامي صرحوا بالتخمين التالي
في الكسور، لاحظنا أنه إذا كان مقام كسر أكبر، الكسر يكون أصغر، وإذا كان مقام الكسر أصغر، الكسر يكون أكبر. الأمثلة: 1/ 4 أصغر من 1/ 2, و 1/ 16 أصغر من 1/ 8
وعندما تحرينا الكسور الأكبر من وحدة واحدة (البسط أكبر من واحد)، راجعنا بداية التخمين لنضيف أن هذا التصريح لكسور من وحدة واحدة فقط. الطلاب في فصلي معتادون على مراجعة الأفكار المكتوبة واللفظية

التلاميذ يجدون في فكرة طرح تخمين على الفصل، أسلوب مثير ومفيد يعطي القدرة على تدريس الآخرين ومشاركتهم الأفكار ويرسخ المعلومات. الطّلاب يتعلمون أيضا أنه مقبول أن تراجع تخميناتهم أو حتى تحذف بدون خوف أي انتقاد من الزملاء. إن الهدف الرئيسي في جماعة تعليمنا هو تحقيق القوة الرياضية

الحدس لربط المعلومات
التلاميذ يتمكنون من الرياضيات عندما يربطون المفاهيم الرياضية ببعضها ، أو بحياتهم الخاصة . فهم يبنون المعرفة بربط فكرة جديدة بالخبرات السابقة لذلك التخمين أسلوب يساعدهم على عمل مثل هذه الروابط

كمثال، سابرين أصدرت حدسا يربط الضرب بالقسمة. قالت، عندما المقسوم يكون مضاعف للمقسوم عليه، يكون حاصل القسمة كاملا بدون كسور. ربط للمعلومة حدث عندما قالت ماري: في العلوم، عندما نقيس السوائل نستخدم الكسور لكي نكون دقيقين. إذا لم نستخدم الكسور، لن يكون القياس صحيحا وسترتبك النتائج. ربط المعلومة مع الحياة العامة خارج الفصل حدث عندما كتب سامي إنه يوجد كسور في كل مكان، فإذا نظرت في علبة العلكة تجد أن كل قطعة تمثل 1/15 ومقاس حذائي ثلاثة ونصف، وعدد الأولاد في لعبة الكوتشينة (ورق اللعب) 4/52، خلال المناقشات المتضمنة للتخمين والأسئلة، والتعليقات، نتوقع من التلاميذ أن يبرروا أفكارهم، ويوضحوا حججهم، ويجاهدوا لكي يفهموا الرياضيات. عموما، هذه الروابط تثبت قوة الرياضيات

تطور الحدس في مجتمع التعليم
في اليوم الأول من الستة أسابيع المخصصة لشرح وحدة الكسور، طرحت ثلاثة أسئلة على واحد وعشرين تلميذا في المستويين الثالث والرابع وذلك للتقييم المبدئي. كل تلميذ أجاب على هذه الأسئلة في دفتر ملاحظات الرياضيات
ما الكسور؟ -1
كيف يمكن أن تمثل الكسور؟ -2
متى تستعمل الكسور في حياتك الخاصة؟ -3
اجتمعنا ثانيا كمجموعة وقضينا بقية وقت الدرس في مناقشة الأسئلة الثلاثة
سامي عرض أفكاره حول السؤال الثاني، ومثل الكسور بكتابة 5÷10=1/2 و 20÷40=1/2

سألته كيف حصل على هذه الفكرة، فأجاب أنها من حدس لويس خلال درسنا السابق الخاص بالقسمة. حدس لويس كان ينص على أنه إذا قسمنا رقما على رقم أكبر منه نحصل على كسر، ماعدا الصفر. وأعطى العديد من الأمثلة
مثل 12÷24=1/2، 12÷96=1/8، 12÷48=1/4، 3÷6=1/2 و 3÷12=1/4

سامي وضح فكرته برسم على ورقة شفافة. وعندما انتهت الحصة قدم لي الحدس الذي كتبه في دفتر ملاحظاته، وهو أي رقم يُقسم على ضعفه يكون الناتج 1/ 2، ماعدا الصفر. وأعطى أمثلة 5÷10=1/2، 10÷20=1/2 و 20÷40=1/2

بعد بعض التعليقات والأسئلة الأولية، (projector)في اليوم التالي، طلبت منه أن يقرأ تخمينه ويعرضه على جهاز العرض
أنا كنت فضولي لأعرف كيف فكر باقي التلاميذ في فكرة سامي، فسألتهم أن يكتبوا في دفاترهم لماذا اختلفوا أو اتفقوا مع حدس سامي ويشرحوا فكرتهم

عندما كنت أتجول في الفصل، لاحظت أن التلاميذ قد وافقوا على فكرة سامي. العديد من الطلاب استخدموا أمثلة تشرح صحة هذا التخمين
اسحق قد اكتشف نمط وسجل ما يلي في دفتر ملاحظاته: 2÷4=1/2، 3÷6=1/2، 4/8=1/2، 5÷10=1/2

بعض الطلاب عمموا تخمين سامي على مقامات الكسر بدلا من 2 وكانوا فرحين جدا بهذا الربط. كمثال، توني ورامي حاولا تطبيق التخمين على رقم 3 وذلك بوضعه كمقام الكسر وكتبا، أي عدد يقسم على ثلاثة أضعاف نفسه يساوي 1/ 3 فيما عدا الصفر. وعلى سبيل المثال 4÷12=1/3، 5÷15=1/3، 12÷36=1/3

ولاحظت أيضا أن العديد من التلاميذ قد صممو1 متواليات عددية في دفاتر الملاحظات وكذلك استخدموا الأرقام 2، 3، 4، 5، و6 كمضروب أو مقسوم عليه . بعد 15 دقيقة اجتمعنا للمناقشة. أكثر التلاميذ كانوا حريصين على المشاركة بتخمينهم الجديد، حيث كانوا يرغبون في تنقيح تخمين سامي وذلك باستخدام أعدادا بدلا من 2. سألتهم كيف يمكننا أن ننقح تخمين سامي بحيث يتضمن كل أرقامهم. اقترحت ماري أن نستخدم الجبر. احتار العديد من التلاميذ في اقتراحها، أوضحت لهم أن الجبر يستخدم الحروف الأبجدية لتمثيل الأعداد. بمساعدة قليلة اقترحت، " أي عدد يُقسّم على قيمة س من مضاعفاته الناتج يكون ا/س فيما عدا الصفر، وأضافت ماري أن س يمكن أن يعني أي عدد لأننا ليس لدينا الوقت لكي نكتب تخمينا لكل عدد. داليا ربطت هذه الفكرة بمفهوم اللانهاية ، وقالت أننا لا يمكن أن نكتب لكل الأرقام تخمينا منفصلا لأن الأرقام تستمر إلى الأبد. بعض التلاميذ فهموا فكرة س وما تمثله. وأكثرهم فهموا فكرة اللانهاية وعلاقتها بتخمين الفصل، ثم قرروا أنه من العدل أن يلصق تخمين سامي الأصلي على حائط التخمين وكذلك تخمين الفصل مستخدما تمثيل ماري الجبري

تناقشنا بعد ذلك حول الصفر ولماذا نعتبره استثناء. كارين قالت إذا كان لا شيء هناك، إذن لا يمكنك أن تصنع منه كسرا، لأنه ليس لديك شيئا تبدأ منه. " من رأيها، أن الصفر يعني أن لا شيء هناك. سامي ذكَّر الفصل بأنه في الضرب والقسمة، عندما يكون لدينا صفر يعني أننا ليس لدينا شيء. ثم أنهت سالي هذه المناقشة الغنية بطرح سؤال على الفصل وهو هل حدس سامي يمكن تطبيقه مع الأعداد السالبة؟

خلال مناقشات المجموعة، كنت أدون أفكاري المهمة في دفتر ملاحظاتي الخاص وأستخدم تعليقاتي لأقيم تعليم تلاميذي، وأسئلتهم وانعكاساتها. كانت ملاحظاتي تساعدني على الإلمام بما حدث خلال المناقشات

أنا كنت مسرورون من ربط التلاميذ للأفكار وتعميمها، وأسئلتهم في مناقشاتنا حول الكسور، فقد ربطوا الكسور والقسمة والجبر والأعداد الصحيحة بالأفكار الرياضية المهمة مثل اللانهاية وصفر

لقد أثبت ربط التلاميذ للمواضيع المختلفة أنهم قد تذكروا وطبقوا بعض المفاهيم التي قد تعلموها قبل أن نبدأ الدرس الجديد الخاص بالكسور، والإستماع الى مناقشتهم وضح قيمة مشاركتهم بالأفكار المختلفة، وتفاعلاتهم صوّرت قوة تأثير أفكار كل منهم على استيعاب زملائه في الفصل

بعض الطلاب عمموا تخمين سامي على الأعداد الأخرى. كل على انفراد حاول إثبات إمكانية تطبيق هذا التخمين على أرقام أخرى بدلا من رقم 2. وأنا قد آثرت أن أرى كيفية استخدام بعض التلاميذ أنماطا كإستراتيجية لتبسيط تخمين سامي. كمثال، بدأ طالب برقم اثنين، ثم كرر المحاولة مع الأرقام 3، 4، 5، 6. استخدام الأنماط ساعد التلاميذ على تعميم إلى ما بعد المعلومات المعطاة وساعدهم أيضا على تنظيم أفكارهم وظهور الكثير من الأمثلة العددية

الخاتمة
التخمين يلعب ثلاثة أدوار مهمة في تنمية القوة الرياضية. أولا، يعطي التلاميذ الشعور بالملكية لأنهم يشعرون بأهمية أفكارهم وتأثيرها على تفهم زملاءهم. ثانيا، التخمين يمكنهم من اكتشاف وبناء معلومات رياضية جديدة بربط ما يحاولون أن يتعلموه بخبراتهم ومعلوماتهم السابقة. ثالثا، التخمين هو وسيلة التلاميذ لربط مفاهيم الرياضيات ببعضها وبحياتهم اليومية. الخلاصة، التخمين يساعد التلاميذ على استيعاب الرياضيات التي تعلموها

المراجع
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NC

المؤلف
Danise Cantlon