الاحتمالات والإحصاء

من طرف **ابو البراء** الجمعة مايو 07, 2010 4:03 pm

الاحتمالات والإحصاء

كان حساب الاحتمال شغل الإنسان الشاغل منذ قديم الزمان، وأصبح في منتصف القرن السابع عشر هواية جدية لدى الرياضيين، فنشأ عن أبحاثهم في هذا الموضوع اختصاص مستقل تماماً هو (رياضيات الاحتمالات).

والاحتمال عند عالم الرياضيات هو نسبة مئوية، أي أنه التكرار الذي تحدث به ظاهرة ما بالنسبة إلى احتمالات مختلفة أخرى يمكن أن تحدث. وعندما تُضم احتمالات وقوع حوادث معينة بعضها إلى بعض يمكن استخدامها لتقدير حدوث سلاسل مشابهة من الحوادث. وقد صيغت قواعد أساسية معينة لتعالج مجموعات كهذه أصبحت تُعرف فيما بعد باسم (قوانين المصادفة).

واعتقد رياضيو القرن الثامن عشر النظريون بأن حساب نيوتن التفاضلي يستطيع بعد تطويره أن يكتشف مستقبل حادثة ما، لا بل إنهم قد أكدوا أنه يستطيع الكشف عن مستقبل الحوادث كلها بدقة مطلقة، وتمسكوا في كثير من الحالات بفلسفة (الحتمية الآلية)، وكتب الرياضي الفرنسي (بيير سيمون دو لا بلاس) الذي عاش في القرن الثامن عشر أن المستقبل سيكون كالماضي مفتوحاً أمام عيني الإنسان.

لكن العلماء المعاصرين مقتنعون أنهم لن يستطيعوا إخضاع كل ما في الكون لحسابات وتحليلات تمتد إلى ما لانهاية له للوصول إلى حتمية الأشياء، لذا اتجهوا إلى التنبؤات التي تقوم على الرياضيات.

تتحرك أدق الوحدات في الطبيعة عندما تكون منفردة حركة عشوائية توحي بأنها فوق مستوى التنبؤ بها، ولكن بما أن هذه الوحدات تعمل بأعداد هائلة جداً، فإن حساب الاحتمالات يكون قادراً على التنبؤ بسلوكها المشترك تنبؤاً كلياً ضمن مجال محدد من الخطأ.

تجري عمليات التكهن على مليارات الجزيئات الغازية التي تحويها قارورة مثلاً، أو على ملايين السائقين ممن هم خلف عجلات القيادة. ومن المستحيل طبعاً أن يتوقع المرء ما إذا كان الجزيء آ سيصطدم بالجزيء ب، أو كان السائق س سيصطدم بالسائق ع، إلا أنه من الممكن أن نعرف على وجه التقريب عدد الجزيئات التي تتصادم في ثانية واحدة، أو عدد السائقين الذين يتصادمون في شهر واحد، وسيكون التقدير صحيحاً إلى حد يسمح للعالم بالوصول إلى استنتاج مفيد، أو يسمح لشركة التأمين بوضع تعرفتها المناسبة.

لقد استقت نظرية الاحتمالات جذورها من المقامرين، ولم يبدأ حساب الاحتمالات بالشكل الذي نعرفه إلا في منتصف القرن السابع عشر على يد ثلاثة من الفرنسيين هم دوميريه وباسكال وفيرما. ولا تنفي قوانين المصادفة إمكان فوز الإنسان بضربة حظ موفقة، وهنا لا يمكن إنكار قيمة الحدس في التنبؤ ببعض الحوادث. ولا تصبح قوانين المصادفة قوانين بحق إلا عندما تكثر المرات التي تُطبَّق فيها، أي كما في حالة توزيع أوراق اللعب عدداً كبيراً من المرات، أو كما في حساب أعمال عدد كبير من الناس، ويُعرف هذا المظهر من مظاهر الاحتمالات بقانون الأعداد الكبيرة.

ويقدم هذا القانون نفسه فرصة صغيرة ليكون الفرد الواحد محظوظاً المرة تلو الأخرى، أي أن يكون توفيقه أكثر بكثير مما يضمنه له تنبؤ الاحتمالات. ومن ناحية أخرى، فإن تتابع التوفيق والحظ على المرء لا يقلل من احتمال توفيقه وحسن حظه في أية محاولات أخرى.

ويفسر قانون الأعداد الكبيرة أغلب استعمالات الاحتمالات العلمية في وقتنا الحاضر، وإليه يعود الفضل في أن احتمال صحة نبوءة ما يزداد بازدياد عدد الحالات التي تدخل في الحساب مثل عدد الجزيئات في وعاء مليء بالغاز، أو عدد الحوادث التي سجلتها شركات التأمين، وهو أحد الأسباب التي تجعل بوليصات التأمين التي تغطي نوعاً محدداً من الحوادث أغلى كثيراً من البوليصات التي تشمل عدداً كبيراً من حوادث مختلفة.

وتسيطر رياضيات الاحتمالات على مظاهر عديدة أخرى من مظاهر الحياة الحديثة، فهي تساعد العالم الذري على فهم الآثار المتشابكة التي تسجلها على الأفلام الجزيئات الذرية المقذوفة من المسرعات. وتساعد خبير الصواريخ في تحديد عوامل الأمان التي يجب أن تزود بها أجهزة القذائف الباهظة الثمن، كما تساعد في تقدير ذكاء الأطفال لدى إجراء اختبارات الذكاء عليهم، وكذلك في تدقيق السلع المنتجة وهي تتدحرج على خطوط الإنتاج في المعامل.

وهناك قانونان يضمهما حساب الاحتمالات، الأول- قانون (كلا الأمرين) لحساب احتمال وقوع حادثتين معاً، والثاني - قانون (أحد الأمرين) لحساب احتمال وقوع حادثة واحدة من حادثتين مستقلتين، وهو يساوي احتمال حدوث الأولى مضروباً باحتمال حدوث الثانية. وينص قانون (أحد الأمرين) على أنه إذا كانت لدينا إمكانيتان يمنع حدوث إحداهما حدوث الأخرى، فإن احتمال حدوثهما يساوي مجموع احتمال حدوث كل واحدة منهما على حدة.

ويمثل الواحد في لغة الاحتمالات (الحتمية)، أي حتمية حدوث الأمر المدروس لدى كل محاولة.

تكمن إحدى الصعوبات الكبيرة لدى تطبيق قوانين الاحتمالات في تحديد الأساليب الممكنة كلها التي يمكن أن تحدث بها حادثة ما. وقد خلص الرياضيون إلى قوانين توفر عليهم عناء العمل، فتعطيهم في لمحة عين عدد الترتيبات المختلفة أو التنظيمات التي تختفي وراء مجموعة واحدة من الإمكانات.

وتوصل علماء الاحتمالات إلى قوانين التبادلات والتوافقات، التي تسهل عليهم حل القضايا الصعبة بعد التأمل في الأنظمة والتراتيب التي يجري بها أي نوع من أنواع اليانصيب أو التي توزع بها أوراق اللعب أو سحب بعض الأشياء من مكان أو غير ذلك.

ويستعمل الرياضيون في دراستهم لسحبات الحظ المجهولة أداة أساسية هي (منحنى التوزيع النظامي)، ويعطي هذا المنحنى القيم النظامية أو الوسطى لعدد كبير من الحالات الاختيارية، ويمكن رسمه بسهولة بعد تكرار المحاولات عدداً كبيراً جداً من المرات، مما يؤدي إلى الحصول على توافيق معينة بدلالة قيم هذه التوافيق نفسها، ويظهر هذا المنحنى على شكل جرس له استدارة خفيفة. وهذا المنحنى هو الأكثر شيوعاً في نظرية الاحتمالات، وهو يمثل كل الحوادث أو المقادير مثل طول حياة المصابيح الكهربائية، وأبعاد أوراق الشجر المتنوعة، وأطوال الجنود في فرقة عسكرية وغيرها.