الجذر العددي

جذر عدد

[rtl]

هذه المقالة عن جذور الاعداد في الرياضيات؛ إن كنت تبحث عن « معنى آخر لكلمة جذر»، فانظر جذر (توضيح).
[/rtl]

رمز الجذر في الرياضيات

[rtl]
في الرياضيات، جذر العدد النوني هو عدد ما (r) إذا رفعناه لقوة معينة (n)، عادة ما تكون 2، أعطانا العدد الأصلي (العدد النوني، x)
$الجذر العددي Fe2178685aba581af4ce96456efed6ad$
مثلاً:
[/rtl]

2 هو الجذر الرابع (n=4) للعدد 16، لأن $الجذر العددي Cde9ff18842ce66808bf816f589757f5$ ; (وهو العدد الموجب الحقيقي الوحيد الذي يحقق هذه الصفة).
3 هو الجذر التربيعي (n=2) للعدد 9 لأن $الجذر العددي 773a8bb1f87db4e5703a22c183dc7c5c$ .

[rtl]
الحرف n يرمز هنا لما يسمى درجة الجذر. جذر من الدرجة الثانية يدعى الجذر التربيعي، وكذلك جذر من الدرجة الثالثة يدعىالجذر التكعيبي، وإلخ. ومن الجدير بالذكر أنه عندما لا تذكر درجة الجذر، المُراد هو الجذر التربيعي.
بشكل عام، الجذر من الدرجة n يُدعى الجذر النوني. عادة ما تُكتب الجذور باستعمال رمز الجذر $الجذر العددي 00e61be02b9ecec6a3fd923288029dbd$ ، فإن الرمز $الجذر العددي 17a6d2e4b2a8b13d32c936f85dac6121$ يرمز للجذر التربيعي للعدد، أما الرمز $الجذر العددي D466b33802795a4c6e1d9cb930903866$ فيدل على الجذر التكعيبي للعدد، أما الرمز $الجذر العددي Dc3b0133777287c898c319e89db2c134$ فيدل على الجذر الرابع، وإلخ.
في الحساب، تعتبر الجذور حالة خاصة من الرفع للقوة، حيث يكون بها الأس كسرًا:
$الجذر العددي F6e2875466bdf9e5eb4a7db071b8e812$
أي عدد حقيقي موجب له جذران حقيقيان أحدهما موجب والآخر سالب، ويرمز للجذر الموجب للعدد $الجذر العددي 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ بالرمز $الجذر العددي Bf3ad54d060ca456987fdccfe6705c7b$ وللجذر السالب بالرمز $الجذر العددي 5850ee4b8fd061d4f8dd1fb8a329309e$ .

[/rtl]

[rtl]محتويات
[أخف] [/rtl]

1 تاريخ

2 تعريف وتدوين

2.1 الجذور التربيعية
2.2 الجذور التكعيبية

3 مطابقات وخواص

4 الجذور من درجات أعلى

5 الجذور المركبة

5.1 جذور تربيعية

6 انظر أيضا

7 المراجع

[rtl]

تاريخ[عدل]
هناك تضارب في المعلومات حول أصل الرمز $الجذر العددي 32adcbbf3e30ff724fdca3bad4b173c3$ لعملية الجذر. بعض المصادر تشير أن الرمز استُعمل للمرة الأولى على يد الرياضياتيين العرب. أحد هؤلاء الرياضياتيين العرب هو أبو الحسن علي القلصادي (1421-1486) في الأندلس. يُقال أن رمز الجذر مستمدّ من الحرف ج، الحرف الأول من الكلمة جذر في اللغة العربية. بالرغم من ذلك، يؤمن بعض العلماء، ومن ضمنهم ليونهارد أويلر^[1]، أن أصل رمز الجذر هو الحرف r، الحرف الأول من الكلمة radix، "جذر" في اللغة اللاتينية والتي ترمز لنفس العملية الحسابية. وجد رمز الجذر للمرة الأولى في المواد المطبوعة وذلك بدون الخط العلوي (الخط الأفقي الذي فوق العدد داخل رمز الجذر) في كتابات بعنوان Die Coss من سنة 1525 للرياضياتي الألماني كريستوف رودولف.
تعريف وتدوين[عدل]
[/rtl]

أربعة الجذور من الدرجة الرابعة للعدد 1-
لا أحد منها عدد حقيقي

ثلاثة الجذور التكعيبية للعدد 1-
واحد منها هو عدد حقيقي سالب

[rtl]
الجذر النوني لعدد ما x، حيث أن n هو عدد صحيح موجب، هو عدد r إذا رفعناه للقوة n نحصل على x:
$الجذر العددي Fe2178685aba581af4ce96456efed6ad$
كل عدد حقيقي موجب x له جذر نوني موجب واحد، ويكتب بالشكل التالي: $الجذر العددي 5e4352778f3b156f05ef056f9793ec36$ . إذا كان n مساويًا لـ 2 يسمى هذا الجذر جذرًا تربيعيًا، ولا يكتب العدد 2 فوق علامة الجذر. يمكن أيضًا كتابة الجذر النوني بالطريقة الأسية بالشكل الآتي: $الجذر العددي 4eb5b6192fbdc2331103f35ec4eeb4bc$ .
لكل قيم n الزوجية يكون هنالك جذر نوني سالب لأي عدد موجب، بينما الأعداد السالبة ليس لها جذر نوني حقيقي. أما لقيم n الفردية فهنالك جذر نوني سالب لأي عدد سالب. مثلاً، العدد 2- له جذر خامس حقيقي، $الجذر العددي E75bbbba9b8964e457e4a7c0a685487e$ ، ولكن العدد 2- ليس له أي جذر سادس حقيقي.
كل عدد x ما عدا الصفر، إن كان حقيقيًا أو مركبًا، له عدد n من الجذور النونية المختلفة في مجال الأعداد المركّبة، وقد يكون من بين تلك الجذور جذور حقيقية موجبة أو سالبة، انظر الجذور المركبة في الأسفل. الجذر النوني للعدد 0 هو الـ 0.
بالنسبة لمعظم الأعداد، الجذر النوني هو عدد غير نسبي. على سبيل المثال،
$الجذر العددي C0fefd77549cff40e6556d6993990cf5$
الجذور التربيعية[عدل]
[/rtl]

مقالة مفصلة: جذر تربيعي

[rtl]

الجذر التربيعي لعدد ما x هو العدد r الذي إذا ربّعناه نحصل على x.
$الجذر العددي 339485168ada1f3fc1274c4c10a0d35a$
لكل عدد حقيقي موجب يوجد جذران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب. على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد 25 هما 5 و 5-.
ولما كان مربع أي عدد حقيقي هو عدد حقيقي موجب فإن الأعداد السالبة لا توجد لها جذور تربيعية حقيقية. ومع ذلك لكل عدد سالب جذران تربيعيان مركبان. فمثلاً الجذران التربيعيان للعدد 25- هما 5i و 5i-، حيث أن i هو الجذر التربيعي للعدد 1-.
الجذور التكعيبية[عدل]
[/rtl]

مقالة مفصلة: جذر تكعيبي

[rtl]
الجذر التكعيبي لعدد ما x هو العدد r الذي إذا كعّبناه نحصل على x.
$الجذر العددي C096c7b6ded4e38e8f84d1fc32e53902$
لكل عدد حقيقي x يوجد جذر تكعيبي واحد، ويكتب بالطريقة التالية: $الجذر العددي A10c7f2aa138b1565920d17c22062a35$ . على سبيل المثال،
$الجذر العددي 5bf2cb4d3911d85cd3f512a915c5835f$
كل عدد حقيقي له جذرين تكعيبيين إضافيين مركبين (أنظر الجذور المركبة في الأسفل).
مطابقات وخواص[عدل]
لكل عدد موجب حقيقي يوجد جذر نوني موجب، وتنطبق عليه الخواص التالية:
$الجذر العددي 1c4a72da0039879d6a3f51c2a3cd7842$ $الجذر العددي Bda2aa437b256dd2810e496f88cd0cbe$
وعندما ننظر إلى الصيغة الأسية للجذور، يمكن أن نفهم الخواص التالية أيضًا:
$الجذر العددي B1d7e70f4168c9e4530a8d550b9f7536$
الجذور من درجات أعلى[عدل]
بالمثل يقال أن y هو جذر تكعيبي للعدد $الجذر العددي 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ إذا كان $الجذر العددي Bb6140305cdc114733846292f1c36fa5$ ويرمز للجذر التكعيبي بالرمز $الجذر العددي Aae30ba882de11ee1cb69ef6b6ae5930$ من السهل ملاحظة أن $الجذر العددي C81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c$ هي الجذر التكعيبي ل $الجذر العددي C9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d$ وأن $الجذر العددي Eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3$ هي الجذر التكعيبي ل $الجذر العددي 02e74f10e0327ad868d138f2b4fdd6f0$ و $الجذر العددي B3149ecea4628efd23d2f86e5a723472$ هي الجذر التكعيبي ل $الجذر العددي E7f104a89e53d713cca08a50363ae8a4$ .
الجذور المركبة[عدل]
[/rtl]

ثلاثة الجذور للعدد 1

[rtl]
كل عدد معرّف فوق حقل الأعداد المركبة له n جذور نونية مختلفة.
جذور تربيعية[عدل]
الجذران التربيعيان لعدد مركب هما دائمًا مضادان. مثلاً، الجذران التربيعيان للعدد 4- هما 2i و 2i-، والجذران التربيعيان للعدد i هما
$الجذر العددي 38ac79df2ce5f660420f9ef8b99badcf$
من الممكن أيضا التعامل مع الجذور المركبة للأعداد الحقيقية، فيرمز للجذر التربيعي للعدد $الجذر العددي 6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88$ بالرمز $الجذر العددي 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741$ ، ويصبح $الجذر العددي 30c35cfe06bad14ad455c018cda9b561$ هو الجذر التربيعي للعدد $الجذر العددي 252e691406782824eec43d7eadc3d256$ ، وهكذا، اصطلح على تسمية الكميات التي على الصورة $الجذر العددي 4921c0e2d1f6005abe1f9ec2e2041909$ حيث $الجذر العددي 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661$ عدد حقيقي بالكميات التخيلية، وهي جذور الأعداد الحقيقية السالبة.
تقابلنا الكميات التخيلية مرة أخرى عندما نبحث عن أكثر من جذر تكعيبي (أو من درجة أعلى) لعدد حقيقي موجب، فالعدد الحقيقي $الجذر العددي C4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b$ له جذر تكعيبي واحد في الأعداد الحقيقية (هو 1 نفسه) لكن العددان المركبان $الجذر العددي 4460d9c1c18e4fc5935bd2ec3c61c2b0$ هما أيضا جذران تكعيبيان للواحد، بوجه عام الأعداد $الجذر العددي Af267111d9af4b6fdf437f96d83c49a6$ هي جميعا جذور للواحد الصحيح من الدرجة $الجذر العددي 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1$
[/rtl]