مجموعات الاعداد

الدرس الأول : مجموعات الأعداد .




[rtl]
الدرس الأول : مجموعات الأعداد . مجموعات الأعدادكمجموعة الأعداد الصحيحة ومجموعة الأعداد الحقيقية ..

[/rtl]

1 مصادر

2 مجموعة الأعداد الصحيحة (تذكير)



• 2.1 عدد أولي - عدد فردي وعدد زوجي
  


3 مجموعة الأعداد الكسرية

4 مجموعة الأعداد الحقيقية



• 4.1 خصائص أساسية
  
• 4.2 متطابقات هامة
  


5 تقديم مجموعة الأعداد العقدية

[rtl][color][font]

مصادر[عدل]
[/font][/color][/rtl]

• [ltr]http://ar.wikipedia.org/[/ltr]
  

[rtl][color][font]
مجموعة الأعداد الصحيحة (تذكير)[عدل]
الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الخالية من أي كسور. تتكون من الأعداد الطبيعية (بما في ذلك الصفر) (0, 1, 2, 3, ...), بالإضافة إلى مقابل الأعداد الطبيعية غير المساوية للصفر (1-, 2-, 3-, ...). على سبيل المثال، 21 و4 و2048- هي أعداد صحيحة بينما 9.75 هو عدد غير صحيح. عادة ما يرمز إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z والذي يأتي من كلمة Zahlen في اللغة الألمانية (تعني العدد). تنقسم مجموعة الأعداد الصحيحة إلى ثلاثة أقسام وهي : مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Z+ ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة Z- والصفر . تتميز الأعداد الصحيحة بوجود إشارات توضع على يسارها. فالأعداد الموجبة توضع لها إشارة (+) والسالبة توضع لها إشارة (-) والصفر ليس له إشارة وكذلك فإنه من الاختصارات عدم وضع إشارة (+) على الأعداد الموجبة لأنها في نفس الوقت أعداد عد وأعداد العد لا نضع فيها إشارة موجب ولكن يجب وضع إشارة (-) على الأعداد السالبة للتفريق بينها وبين الأعداد الموجبة.
[/font][/color][/rtl]

• مجموع عددين صحيحين موجبين هو عدد صحيح موجب. فمثلا 3 + 6 = 9 تنتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ومجموع عددين صحيحين سالبين هو عدد صحيح سالب.
  
• الطرح في مجموعة الأعداد الصحيحة هو جمع المعكوس الجمعي فمثلا : 4 - (-3) = 4 + 3 = 7.
  
• جداء عددين صحيحين أحدهما سالب والآخر موجب عدد سالب.
  
• قواعد إشارات عملية القسمة تشبه عملية الضرب تماما.
  

[rtl][color][font]
عدد أولي - عدد فردي وعدد زوجي[عدل]
[/font][/color][/rtl]

• العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعا من 1, يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط. عدد طبيعي أكبر قطعا من 1 وليس أوليا يدعى عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6.
  

[rtl][color][font]
العدد الزوجي هو العدد الصحيح القابل للتقسيم على الاثنين. وخلافه العدد الفردي ، وهو الذي لا يقبل التقسيم على الاثنين. نقول أن عددان لهما نفس الزوجية إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.
[/font][/color][/rtl]

• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
  
  
  
  • عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: .
    
  • عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال: .
    
  
  
• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
  
  
  
  • عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: .
    
  
  

• ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال:  .
  
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال: 
  
• ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال:  .
  

• عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:
  
• إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة :  .
    
  
  
• إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  
• إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  
• إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  

[rtl][color][font]
في مجموعة الأعداد الصحيحة , تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 3²·5.
أمثلة أخرى:
11 = 11
25 = 5 × 5 = 5²
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5
مجموعة الأعداد الكسرية[عدل]
عدد كسري أو عدد نسبي أو عدد جذري هو أي عدد يمكن صياغته كنسبة بين عددين صحيحين إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل : a/b وتدعى كسرا، حيث b لا تساوي الصفر. يُدعى a البسط، ويُدعى b المقام. يمكن كتابة أي عدد كسري بعدد غير منته من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): . ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : ). يمكن أيضا التعبير عن أي عدد كسري بشكل كسر عشري ويكون الكسر العشري الممثل للعدد الكسري دوريًا(أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري : 0.234234234، 12.363636، 452.563256325632). وهنا يستخدم رمز الخط العلوي للتعبير عن هذه الأعداد الكسرية الدورية. بالمقابل توجد مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير النسبية أو غير الكسرية. يكون عددان كسريان و متساويان فقط وفقط إذا كان . يتم جمع عددين كسريين كما يلي:

وتتم عملية الضرب كما يلي:

كما يوجد أيضًا المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد الكسرية كما يلي:

مجموعة الأعداد الحقيقية[عدل]
تعرف مجموعة الأعداد الحقيقية بأنها مجموعة الأعداد التي تتكون من مجموعة الأعداد غير النسبية (R\Q) ومجموعة الأعداد الكسرية (Q). تشمل مجموعة الأعداد الكسرية مجموعة الأعداد الصحيحة (Z) والكسور, وتشمل مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الطبيعية (N). وبذلك تكون:
مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الكسرية والأخيرة مجموعة جزئية منمجموعة الأعداد الحقيقية.
حيث أن مجموعة الأعداد الطبيعية تبدأ من الصفر الصحيح إلى موجب ما لا نهاية بزيادة واحد صحيح في كل مرة، أما مجموعة الأعداد الصحيحة فتشتمل على الأعداد من سالب ما لا نهاية بالإضافة إلى الصفر بالإضافة إلى الأعداد الموجبة التي تحتويها مجموعة الأعداد الطبيعية بزيادة واحد صحيح كل مرة، أما الأعداد الكسريةفتتكون من كسور الأعداد الصحيحة في صورة بسط ومقام, أما الأعداد الحقيقية فتشمل المجموعات السابقة كلها بالإضافة إلى الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل كسور مثل الπ (الباي) أي الأعداد اللا الكسرية.
يمكن تصور الأعداد الحقيقية بأنها أعداد غير متناهية على خط مستقيم. وتأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية.
كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها. يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية وغير دورية في حالة الأرقام غير الكسرية أو الدورية في حالة الأعداد الكسرية. اذا نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة أوأعداد كسرية، لهذا يتم إنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية.
في هذه المجموعة المعادلة الآتية:  لها حل في هذه المجموعة .
خصائص أساسية[عدل]
العدد الحقيقي قد يكون جذريا أو غير جذري وقد يكون جبريا أو متساميا وقد يكون موجبا أو سالبا أو مساويا للصفر. يمكن للأعداد الحقيقية أن تنشأ كتكميل للأعداد الجذرية حيث تؤول كل متتالية معرفة بسلسلة من الأعداد العشرية أو الثنائية كما هو الحال بالنسبة ل {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...}، إلى عدد حقيقي ما.
متطابقات هامة[عدل]
المتطابقات الهامة متساويات تسهل عملية الحساب والنشر والتعميل.
[/font][/color][/rtl]

• أمثلة :
  

[rtl][color][font]
[ltr]
تقديم مجموعة الأعداد العقدية[عدل]
رمز مجموعة الأعداد العقدية هو  أو . العدد العقدي هو أي عدد يُكتب على الصورة  حيث  و عددان حقيقيان و عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أنi² = -1). ويسمي العدد الحقيقي  بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي  بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و2 هو الجزء التخيلي. تمنح الأعداد العقدية حلولا لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية : المعادلة

لا تقبل أي حل حقيقي لأن مربع عدد حقيقي ما يساوي الصفر أو هو موجب. الأعداد العقدية تمنح حلا لهاته المعادلة. الفكرة هي تمديد الأعداد الحقيقية بالوحدة التخيلية i حيث , مما يمكن من إيجاد حل للمعادلة السابقة.[/ltr][/font][/color][/rtl]