دالة تكعيبية

دالة تكعيبية

مخطط الدالة التكعيبية، جذور الدالة هي عند تقاطع المخطط مع محور السينات x.

[rtl]
في الرياضيات، الدالة التكعيبية هي دالة رياضية لها الشكل التالي:
$دالة تكعيبية B60516bb7dfdf9c558101fcbac084d53$
حيث a لا يساوي الصفر. أو هي متعددة حدود من الدرجة الثالثة.
مشتق الدالة التكعيبية هي دالة تربيعية، وتكامل الدالة التكعيبية هي دالة من الدرجة الرابعة.
إذا كان $دالة تكعيبية Cb3861ad9869c0eb80ba9334b8cc1f17$ يصبح لدينا "معادلة تكعيبية" أو معادلة من الدرجة الثالثة :
$دالة تكعيبية 067f8951d4fbd4d8401eee7a3a26f135$
حيث : $دالة تكعيبية Dbcde95e34541d909bf6bc1694345201$ . إذا كانت a = 0, فتصبح معادلة تربيعية. أما إذا كان a و b مساويين للصفر, فإن المعادلة تصير خطية. عادة، تكون $دالة تكعيبية 93465634572e40067fc693e625035494$ أعدادا صحيحة.

[/rtl]

[rtl]محتويات
[أخف] [/rtl]

1 جذور المعادلة

1.1 القانون العام للجذور
1.2 صيغة غاردان
- 1.2.1 الخلاصة

2 انظر إيضا

3 وصلات خارجية

[rtl]

جذور المعادلة[عدل]
حل المعادلة التكعيبية يعنى ايجاد الجذر التكعيبي للدالة التكعيبية وهو ليس بالأمر السهل كما في معادلة الدرجة الثانية. يمكن إثبات القانون العام لجذور معادلة الدرجة الثالثة إما باستخدام صيغة غادان أو الإثبات العكسي (بضرب الجذور الثلاثة في بعضها):
القانون العام للجذور[عدل]
تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا س^٣ + ب س^٢+ حـ س + د =٠ ، $دالة تكعيبية 067f8951d4fbd4d8401eee7a3a26f135$ بدلالة معاملاتها $دالة تكعيبية 93465634572e40067fc693e625035494$ كما يلي:
$دالة تكعيبية 03ee73e57f2e5e1bea01064da47687d8$
صيغة غاردان[عدل]
كان غاردان عالما رياضيا, فيزيائيا وفلكيا وقد استطاع أن ينشر هذه الصيغة في كتابه عام 1545م. كانت الطريقة تقتضي الاتي:
[/rtl]

أولا تبسيط المعادلة القياسية لتصبح على الشكل

[rtl]
$دالة تكعيبية 41cce07aa96af94a7474a3bf1d71ba4e$
[/rtl]

ثم التخلص من معامل الدرجة الثانية باستخدام التعويض المناسب $دالة تكعيبية B23bab48c691bc8b09fa8f0b9958507b$ لتصبح المعادلة بالشكل الجديد:

[rtl]
$دالة تكعيبية 849a2455014e29ef65069786840c21d7$
حيث
$دالة تكعيبية C446ece79f37af0d0ef4e9230a936e3b$
[/rtl]

وبتعويض مناسب : $دالة تكعيبية Efa6690d0669870ab94c4fb0336a7ba7$ في المعادلة (2) يمكن الحصول على:

[rtl]
$دالة تكعيبية C193a8b2e109f9ca728eb931c679b7f8$ .
[/rtl]

وهنا افترض غاردانو حدا جديدا للمتغيرات u وv بحيث $دالة تكعيبية Ec982f9772f1c79261a42e7b16fed3b6$
عند دمج هذه في (3) بتعويض v نحصل على:

[rtl]
$دالة تكعيبية 2a10464659914d72f14a54f355f4a5ed$
[/rtl]

يمكن ملاحظة أن هذه معادلة من الدرجة السادسة التي يمكن أن تبسط إلى الدرجة الثانية في u³ وتحل مباشرة لتصبح:

[rtl]
$دالة تكعيبية Fcd68778ea1e4acdb24386c04a5f939a$ وبالتالي: $دالة تكعيبية B0f754dc11dd08a650103ae54785f496$
[/rtl]

ولما كانت t == v + u, t = x + a/3, وv == −p/3u, نجد أن:

[rtl]
$دالة تكعيبية 1f9ea9bfa242601f217b8cd88a606301$
لاحظ أنه يوجد 6 احتمالات لحساب u في(4), وذلك لأن الجذر التربيعي يحمل احتمالين ( $دالة تكعيبية 4bf3bbcfc996bee052449673b4ca3b96$ ) والجذور ثلاثة. ولكن الجذر التربيعي ليس له تأثير على القيمة الناتجة t(ومع ذلك يجب الانتباه للحالات الثلاث لتجنب القسمة على صفر):
أولا, إذا كانت p = q = 0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية $دالة تكعيبية Eb6926572883e2f4465cb236e94c70b6$ ثانيا, إذا كانت p = 0 وq ≠ 0, فإن: $دالة تكعيبية 35d6f22880e00aec8d0d8c2eb3da1701$ ثالثا أذا كانت p ≠ 0 وq = 0 فإن: $دالة تكعيبية 8ce83d03b9d0f5a88e3fdf48bc5e1841$ وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي: $دالة تكعيبية 59693ba80657473f8108ff2727000ec6$ حيث $دالة تكعيبية 5406ee74ffea937bd3ec8a7539dd81fe$
الخلاصة[عدل]
من أجل حل المعادلة التكعيبية
$دالة تكعيبية 3738248fb9268c35c95942adc8ecb417$
تعطى جذور x بالشكل:
$دالة تكعيبية A68c31903dbf91616662134cc8168c96$
حيث
$دالة تكعيبية F736beef2e4288ce4a9c0db5dcffe388$ $دالة تكعيبية 271a41789fe3374afee71345114239a2$ $دالة تكعيبية A19eddc69af0f3c0548e45f04104771c$

[/rtl]