العمليات على المجموعات
يساوي7 :: الفئة الأولى :: المنتدى الأول
صفحة 1 من اصل 1
العمليات على المجموعات
بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم و رحمة الله و بركاته الأخوة الكرام في محاولة لوضع الاسس المنطقية لعلم الرياضيات بدأنا معكم هذه السلسلة من المواضيع مبادئ الرياضيات:-(أ) [OVERLINE]المنطق و البرهان الرياضي[/OVERLINE] و الذي لم تكتمل فصوله بعد و اتمنى ان أجد الوقت الكافي للرجوع إليها ثم و انتقلنا بعد ذلك لمناقشة مجموعات الاعداد لما لها من أهمية لا تخفى على أحد و التي تشكل القاعدة الأولى التي يتم من خلالها تفصيل و تمثبل المفاهيم على أرض الواقع [OVERLINE]مفاهيم رياضية أساسية: الأعداد[/OVERLINE] ثم رجعنا لنتناول مفهوم المحموعات بشكل أكثر تجريدا [OVERLINE]المجموعات (الفئات [/OVERLINE]The Sets) و إكمالا للمسيرة و كخطوة أخرى على الطريق سنحاول الحديث اليوم عن العمليات على المجموعات |
1- عملية الاتحاد 1- الإتحاد Union إذا كانت A,B مجموعتين يعرف اتحادهما على أنه المجموعة التي عناصرها إما من عناصر A أو من عناصر B أو كليهما و نرمز لذلك ب بمعنى أن العنصر x ينتمي لمجموعة الاتحاد إذا وفقط إذا كانت x تنتمي إلى A أو إذا كانت x ينتمي إلى B و يمكن تمثيل العمليات على المجموعات بأشكال تسمى أشكال فن Venn diagrams كما يلي http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn-diagram-AB.svg فإذا كانت الدائرة الأولى ترمز للمجموعة A و الدائرة الثانية ترمز للمجموعة B فإن الشكل المظلل يرمز لمجموعة الاتحاد http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn0111.svg مثال فإذا كانت و كانت فإن كذلك إذا كانت فإن من خواص عملية الاتحاد 1- عملية الاتحاد عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن أعط نفسك و لو أقل من دقيقة للتحقق من ذلك. 2- أن عملية الاتحاد عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن تحقق من ذلك بنفسك. و هذه الخواص مهمة جدا لأنها تعني أنه يمكن إجراء هذه العملية لاي عدد من المجموعات باستخدام أو بدون استخدام الاقواس . (هل يمكنك إعطاء مثال على عملية غير دامجة و بالتالي لا يمكن تكرارها بدون استخدام الأقواس سنجد أن هناك بالفعل العديد من العمليات ليست دامجة ) و على ذلك يمكن أن نستخدم الصيغة التالية و هنا يجب التنبيه أننا لإجراء أي عملية أكثر من مرة يجب أن نستخدم الأقواس إذا لم تكن العملية دامجة و إلا يعتبر التعبير بلا معنى طالما لم تتم الإشارة إلى ذلك فمثلا في عملية الطرح لا معنى للقول a-b-c ( إذا لم يتم الاتفاق على أولويات لإجراء العملية ) لماذا؟ كيف تستطيع أن تقنع نفسك بذلك؟ يتبــــــــــــــع |
اتحاد عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات إن ما تتمتع به عملية الاتحاد من صفات (خاصية الدمج) جعلت من السهل إيجاد الاتحاد لأي عدد من المجموعات حتى لو كان هذا العدد غير منتهي فإذا كان لدينا عدد كبير جدا من المجموعات و ليكن حيث i تنتمي للمجموعة و هي هنا تستخدم لترقيم المجموعات أن نجري عليها عملية الاتحاد و تمييزها عن بعضها فإن مجموعة الاتحاد( لتلك المجموعات) هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا وجدت مجموعة واحدة على الاقل و لتكن بحيث أن أمثلة [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigcup_{i=0}^{10}&space;\{i\}=\{0,1,2,...,10\}&space;\\&space;\bigcup_{n=-&space;\infty&space;}^{\infty&space;}\{n,&space;n+1,n+2\}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,&space;...\}&space;\\&space;\bigcup_{i\in&space;[&space;0,1]}\{i,2i,-i,-2i\}=[-2,2]&space;\\&space;\bigcup_{n=1}^{\infty&space;}&space;[&space;\frac{1}{n}&space;,&space;1-\frac{1}{n}]=&space;(0,1)[/img] سيكون تمرين جيد أن تحاول التحقق من كل ما سبق و أن تقتنع بصحة ذلك |
رد: اتحاد عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات عملية التقاطع intersection إذا كان A و B مجموعتين فإن تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B. أي أن عنصر x ينتمي إلى مجموعة التقاطع إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B يرمز لها ب وكما هو الحال في عملية الاتحاد ، يمكن تمثيل عملية التقاطع بأشكال فن Venn diagrams كما يلي http://en.wikipedia.org/wiki/File:Ve...ntersect_B.svg أمثلة فإذا كانت و كانت فإن كذلك إذا كانت فإن لاحظوا معي هنا أهمية وجود المجموعة الخالية فلولاها لأصبحت عملية التقاطع ليست معرفة دائما و نلاحظ أيضا كيف أن المجموعة الخالية يجب اعتبارها مجموعة جزئية من أي مجموعة و أن المجموعات الخالية متطابقة مهما كان أصلها و يؤكد ذلك المثال التالي أما عن خواص عملية التقاطع يمكننا ملاحظة أنه رغم الخلاف الكبير بين تعريف عملية التقاطع و الاتحاد إلا ان كلاهما عمليات إبدالية و دامجة من خواص عملية التقاطع 1- عملية التقاطع عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن تحقق من ذلك. 2- أن عملية التقاطع عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن تحقق من ذلك. و عليه كما أوضحنا مسبقا يمكن إجراء عملية التقاطع أكثر من مرة بدون استخدام الأقواس أي أن تقاطع عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات و نظرا لأن عملية التقاطع أيضا دامجة يمكن بكل سهولة تعريف عملية التقاطع لأي عدد من المجموعات فإذا كان لدينا عدد من المجموعات و ليكن فإن مجموعة التقاطع هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا كان هذا العنصر ينتمي لـ لكل أمثلة [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigcap_{n=1}^{50}(0,n)=(0,1)&space;\\&space;\bigcap_{a%3E0}(-\infty&space;,a)=&space;(-\infty&space;,0]&space;\\&space;\bigcap_{n=1}^{\infty&space;}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}&space;\\&space;\bigcap_{a&space;\in&space;R}[a,&space;\infty&space;)=&space;\varnothing[/img] |
محمد جهاد الجبارين- عضو متقدم
- عدد المساهمات : 1448
تاريخ التسجيل : 11/11/2013
العمر : 22
الموقع : الدوارة\سعير \ الخليل
العمل/الترفيه : طالب مجتهد
المزاج : ممتاز
يساوي7 :: الفئة الأولى :: المنتدى الأول
صفحة 1 من اصل 1
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى