العمليات على المجموعات

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
الأخوة الكرام
في محاولة لوضع الاسس المنطقية لعلم الرياضيات بدأنا معكم هذه السلسلة من المواضيع

مبادئ الرياضيات:-(أ) [OVERLINE]المنطق و البرهان الرياضي[/OVERLINE]
و الذي لم تكتمل فصوله بعد و اتمنى ان أجد الوقت الكافي للرجوع إليها

ثم و انتقلنا بعد ذلك لمناقشة مجموعات الاعداد لما لها من أهمية لا تخفى على أحد و التي تشكل
القاعدة الأولى التي يتم من خلالها تفصيل و تمثبل المفاهيم على أرض الواقع

[OVERLINE]مفاهيم رياضية أساسية: الأعداد[/OVERLINE]

ثم رجعنا لنتناول مفهوم المحموعات بشكل أكثر تجريدا

[OVERLINE]المجموعات (الفئات [/OVERLINE]The Sets)

و إكمالا للمسيرة و كخطوة أخرى على الطريق سنحاول الحديث اليوم عن العمليات على المجموعات

1- عملية الاتحاد

1- الإتحاد Union
إذا كانت A,B مجموعتين يعرف اتحادهما على أنه المجموعة التي عناصرها إما من عناصر A أو من عناصر B أو كليهما و نرمز لذلك ب

$العمليات على المجموعات Gif$

بمعنى أن العنصر x ينتمي لمجموعة الاتحاد إذا وفقط إذا كانت x تنتمي إلى A أو إذا كانت x ينتمي إلى B

و يمكن تمثيل العمليات على المجموعات بأشكال تسمى أشكال فن Venn diagrams كما يلي
العمليات على المجموعات File:Venn-diagram-AB

العمليات على المجموعات File:Venn-diagram-AB

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn-diagram-AB.svg

فإذا كانت الدائرة الأولى ترمز للمجموعة A و الدائرة الثانية ترمز للمجموعة B فإن الشكل المظلل يرمز لمجموعة الاتحاد
العمليات على المجموعات File:Venn0111

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn0111.svg
مثال
فإذا كانت
$العمليات على المجموعات Gif$
و كانت
$العمليات على المجموعات Gif$
فإن

$العمليات على المجموعات Gif$

كذلك إذا كانت
$العمليات على المجموعات Gif$

فإن
$العمليات على المجموعات Gif.latex?A&space;\cup&space;B&space;=\{2,3,4,5,6,..$

من خواص عملية الاتحاد
1- عملية الاتحاد عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن
$العمليات على المجموعات Gif$
أعط نفسك و لو أقل من دقيقة للتحقق من ذلك.

2- أن عملية الاتحاد عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن
$العمليات على المجموعات Gif$
تحقق من ذلك بنفسك.
و هذه الخواص مهمة جدا لأنها تعني أنه يمكن إجراء هذه العملية لاي عدد من المجموعات باستخدام أو بدون استخدام الاقواس .

(هل يمكنك إعطاء مثال على عملية غير دامجة و بالتالي لا يمكن تكرارها بدون استخدام الأقواس
سنجد أن هناك بالفعل العديد من العمليات ليست دامجة )

و على ذلك يمكن أن نستخدم الصيغة التالية
$العمليات على المجموعات Gif$

و هنا يجب التنبيه أننا لإجراء أي عملية أكثر من مرة يجب أن نستخدم الأقواس إذا لم تكن العملية دامجة و إلا يعتبر التعبير بلا معنى طالما لم تتم الإشارة إلى ذلك
فمثلا في عملية الطرح لا معنى للقول
a-b-c

( إذا لم يتم الاتفاق على أولويات لإجراء العملية )
لماذا؟
كيف تستطيع أن تقنع نفسك بذلك؟

يتبــــــــــــــع

اتحاد عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات

إن ما تتمتع به عملية الاتحاد من صفات (خاصية الدمج) جعلت من السهل إيجاد الاتحاد لأي عدد من المجموعات حتى لو كان هذا العدد غير منتهي
فإذا كان لدينا عدد كبير جدا من المجموعات و ليكن $العمليات على المجموعات Gif$

حيث i تنتمي للمجموعة $العمليات على المجموعات Gif$ و هي هنا تستخدم لترقيم المجموعات أن نجري عليها عملية الاتحاد و تمييزها عن بعضها

فإن مجموعة الاتحاد( لتلك المجموعات) هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا وجدت مجموعة واحدة على الاقل و لتكن $العمليات على المجموعات Gif$

بحيث أن $العمليات على المجموعات Gif$

أمثلة
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigcup_{i=0}^{10}&space;\{i\}=\{0,1,2,...,10\}&space;\\&space;\bigcup_{n=-&space;\infty&space;}^{\infty&space;}\{n,&space;n+1,n+2\}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,&space;...\}&space;\\&space;\bigcup_{i\in&space;[&space;0,1]}\{i,2i,-i,-2i\}=[-2,2]&space;\\&space;\bigcup_{n=1}^{\infty&space;}&space;[&space;\frac{1}{n}&space;,&space;1-\frac{1}{n}]=&space;(0,1)[/img]

سيكون تمرين جيد أن تحاول التحقق من كل ما سبق و أن تقتنع بصحة ذلك

رد: اتحاد عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات

عملية التقاطع intersection

إذا كان A و B مجموعتين فإن تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى مجموعة التقاطع إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B يرمز لها ب
$العمليات على المجموعات Gif$

وكما هو الحال في عملية الاتحاد ، يمكن تمثيل عملية التقاطع بأشكال فن Venn diagrams كما يلي
العمليات على المجموعات File:Venn_A_intersect_B

العمليات على المجموعات File:Venn_A_intersect_B

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Ve...ntersect_B.svg

أمثلة
فإذا كانت
$العمليات على المجموعات Gif$
و كانت
$العمليات على المجموعات Gif$
فإن

$العمليات على المجموعات Gif$

كذلك إذا كانت
$العمليات على المجموعات Gif$

فإن
$العمليات على المجموعات Gif$

لاحظوا معي هنا أهمية وجود المجموعة الخالية فلولاها لأصبحت عملية التقاطع ليست معرفة دائما

و نلاحظ أيضا كيف أن المجموعة الخالية يجب اعتبارها مجموعة جزئية من أي مجموعة
و أن المجموعات الخالية متطابقة مهما كان أصلها
و يؤكد ذلك المثال التالي

$العمليات على المجموعات Gif$

أما عن خواص عملية التقاطع يمكننا ملاحظة أنه رغم الخلاف الكبير بين تعريف عملية التقاطع و الاتحاد
إلا ان كلاهما عمليات إبدالية و دامجة
من خواص عملية التقاطع
1- عملية التقاطع عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن
$العمليات على المجموعات Gif$
تحقق من ذلك.

2- أن عملية التقاطع عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن

$العمليات على المجموعات Gif$
تحقق من ذلك.
و عليه كما أوضحنا مسبقا يمكن إجراء عملية التقاطع أكثر من مرة بدون استخدام الأقواس

أي أن $العمليات على المجموعات Gif$

تقاطع عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات
و نظرا لأن عملية التقاطع أيضا دامجة يمكن بكل سهولة تعريف عملية التقاطع لأي عدد من المجموعات
فإذا كان لدينا عدد من المجموعات و ليكن $العمليات على المجموعات Gif$

فإن مجموعة التقاطع هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا كان هذا العنصر ينتمي لـ $العمليات على المجموعات Gif$ لكل $العمليات على المجموعات Gif$

أمثلة

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigcap_{n=1}^{50}(0,n)=(0,1)&space;\\&space;\bigcap_{a%3E0}(-\infty&space;,a)=&space;(-\infty&space;,0]&space;\\&space;\bigcap_{n=1}^{\infty&space;}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}&space;\\&space;\bigcap_{a&space;\in&space;R}[a,&space;\infty&space;)=&space;\varnothing[/img]