مجموعة الاعداد الصحيحة الطبيعية -مبادىء اولية في الحساب

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية - مبادئ أولية في الحسابيات
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

لقد اقترح دمج محتويات هذه المقالة أو الفقرة في المعلومات تحت عنوان عدد طبيعي. (نقاش) (أغسطس_2013)

هذه المقالة يتيمة إذ [rtl]لا تصل إليها[/rtl] مقالة أخرى. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة [rtl]متعلقة بها[/rtl]. (يناير 2013)

[color][font][rtl]

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية - مبادئ أولية في الحسابيات الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الخالية من أي كسور. تتكون من الأعداد الطبيعية ( بما في ذلك الصفر ) (0, 1, 2, 3, ...), بالإضافة إلى مقابل الأعداد الطبيعية غير المساوية للصفر (1-, 2-, 3-, ...). على سبيل المثال، 21 و 4 و 2048- هي أعداد صحيحة بينما 9.75 و \sqrt{2} هي أعداد غير صحيحة.

[/rtl][/font][/color]

1 مفهوم الأعداد الطبيعية

2 الأعداد الزوجية والأعداد الفردية

3 مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجية

4 اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية



• 4.1 عن طريق القسمة المتكررة
  
• 4.2 الغرابيل
  
• 4.3 اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
  


5 تحليل عدد صحيح

6 خصائص الأعداد الأولية



• 6.1 أمثلة
  
• 6.2 تعريف
  
• 6.3 إضافات
  


7 تطبيق

[color][font][rtl]

مفهوم الأعداد الطبيعية[عدل]
العدد الطبيعي هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563. ويضيف بعض العلماء الصفر إلى هذه المجموعة من الأعداد. يرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N. و هي مجموعة أعداد غير منتهية. يمثل 1 أصغرها، ويتم إنشاؤها بواسطة علاقة الترجع: كل عدد طبيعي له موال وهو أيضا عدد صحيح طبيعي, 1 عدد صحيح طبيعي.
أي: "1 عدد طبيعي، وإذا كان  عدداً طبيعياً، فإن  عدد طبيعي أيضاً."
وكل مجموعة مرتبة تخضع لأكسيومات بيانو تسمى مجموعة أعداد طبيعية. ويُرمز إلى هذه المجموعة ب N أو يرمز إليها ب *N إذا حذف منها الصفر. بعض الرياضيين لا يعتبرون الصفر عددا صحيحا طبيعيا.
[/rtl][/font][/color]

• ومن خصائصها الجبرية : الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب
  
• التجميعة، الضرب عملية تجميعية: (c × b) × a = (c × b) × a.
  
• التبادلية، الجمع عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة :a + b = b + a. الضرب عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية : تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة : a × b = b × a.
  
• وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
  

• توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية :a × (b + c) = a × b + a × c
  

• لا وجود لقواسم الصفر, إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0..
  

[color][font][rtl]
الأعداد الزوجية والأعداد الفردية[عدل]
العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة. نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.
[/rtl][/font][/color]

• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
  
  
  
  • عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: .
    
  • عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال: .
    
  
  
• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
  
  
  
  • عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: .
    
  
  

• ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال:  .
  
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال:  ي
  
• ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال:  .
  

[color][font][rtl]
عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:
[/rtl][/font][/color]

• إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة :  .
    
  
  
• إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  
• إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  
• إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
  
  
  
  • أمثلة:  .
    
  
  

[color][font][rtl]
مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجية[عدل]
حدسية غولدباخحدسية غولدباخ تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. (ملاحظة: هذه الحدسية لم تُثبت بعد).الأعداد المثاليةالعدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه بما فيها 1، اكتشف ما يزيد على 40 عدد زوجي مثالي (أصغر عدد زوجي مثالي هو 6 حيث 6 = 1+2+3)، ولا يعرف أيوجد عدد فردي مثالي أم لا؟ عدد مثل هذا يجب أن يكون أكبر من .الأعداد الأوليةالعدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2 وبقية الأعداد الأولية الأخرى فردية.
العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعا من 1, يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط. عدد طبيعي أكبر قطعا من 1 وليس أوليا يدعى عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد : كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هاته المجموعة). هاته المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية[عدل]
هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.
عن طريق القسمة المتكررة[عدل]
الطريقة الأكثر بساطة, والأكثر سهولة من حيث الفهم, من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.
الغرابيل[عدل]
[/rtl][/font][/color][color][font][rtl]
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.
اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك[عدل]
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p, إذن :
عكس المبرهنة خاطئ, مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561, لدينا 
لكن يمكن مع ذلك كتابة:
إذا كان p غير أولي فإن  متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.
برمجة التشفير PGP, تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: , فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
تحليل عدد صحيح[عدل]
تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 3²·5.
أمثلة أخرى:
11 = 11
25 = 5 × 5 = 5²
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5
خصائص الأعداد الأولية[عدل]
[/rtl][/font][/color]

• أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
  
• كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.
  
• إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
  
• إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية, هما توأمان أوليان.
  

• ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
  

[color][font][rtl]
نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
[/rtl][/font][/color]

• لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
  
• للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
  

[color][font][rtl]
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm
أمثلة[عدل]
ppcm (4;9) = 36 ppcm (6;10)=30
تعريف[عدل]
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو اآبر قاسم مشترك لهما نرمز له بالرمز pgcd مثال:
pgcd(126;90)=18 pgcd(4;9)=1
إضافات[عدل]
[/rtl][/font][/color]

• طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b
  

[color][font][rtl]
أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b , فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b .
[/rtl][/font][/color]

• طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b
  

[color][font][rtl]
أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b .
[/rtl][/font][/color]

• طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
  

[color][font][rtl]
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p<a -إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي -إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي
تطبيق[عدل]
-من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية: 5 ; 4+16 ; 5/2 ; 12-23 ; 15/3 ; 2.15 -فكك الأعداد 24;319;1344 إلى جداء عوامل أولية .[/rtl][/font][/color]