الاعداد الصحيحة

[rtl]
الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي يمكن كتابتها بدون استخدام الكسور أو الفواصل العشرية، وتتكون مجموعة الأعداد الصحيحة -والتي تعتبر مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية- من الأعداد الطبيعة (1، 2، 3، ..) والصفر والأعداد السالبة المقابلة للأعداد الطبعيية (-1، -2، -3، ..)، وعليه فمجموعة الأعداد الصحيحة تكونمجموعة غير منتهية شأنها في ذلك شأن مجموعة الأعداد الطبيعية، وعادة ما يرمز لها بالحرف اللاتيني Z.
[/rtl]

1 الخصائص الجبرية

2 خصائص نظرية أخرى

3 مجموعة الأعداد الصحيحة



• 3.1 مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Z+
  
• 3.2 مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة Z-
  
• 3.3 الصفر
  
• 3.4 ملحوظات
  




4 الإشارة

5 العمليات الحسابية على Z



• 5.1 الجمع
  
• 5.2 الطرح
  
• 5.3 الضرب والقسمة
  




6 انظر أيضا

7 مراجع

8 وصلات خارجية

[rtl]

الخصائص الجبرية[عدل]
كما هو الحال بالنسبة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة منغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب. هذا يعني أن مجموع وجداء عددين صحيحين هما أيضا عددان صحيحان. وبما أن مجموعة الأعداد الصحيحة تضم الأعداد الطبيعية السالبة و تضم الصفر، فإنها تبقى منغلقة أيضا تحت عملية الطرح, على عكس مجموعة الأعداد الطبيعية. Z غير منغلقة تحت عملية القسمة, بما أن قسمة عدد صحيح ما على عدد صحيح آخر (على سبيل المثال، واحد مقسوم على اثنين)، لا تعطي دائما عددا صحيحا.
لو جمعنا ثلاثة أعداد ودمجنا اثنين في قوس وجمعنا ناتج القوس مع العدد الثالث فإن الناتج لن يتغير معنى ذلك أن عملية الجمع دامجة في ص.
[/rtl]

1. المعكوس الجمعي : المعكوس الجمعى للعدد يكون مساويا للعدد في القيمة مخالفا له في الإشارة فمثلا 3 معكوسها الجمعى هو -3 حيث -3 توافق 3 في القيمة وتخالفها في الإشارة ومجموع العدد ومعكوسه الجمعى يساوى صفر وتستخدم دائما في تسهيل عمليات الدمج.
   

1. المحايد الجمعي : وهو الصفر حيث جمع الصفر مع أي عدد صحيح فسوف ينتج نفس العدد.
   

[rtl]
فيما يلي بعض من الخصائص لعمليتي الجمع والضرب بالنسبة لثلاثة أعداد صحيحة a و b و c:
[/rtl]
خصائص عمليتي الجمع والضرب مطبقتين على الأعداد الصحيحة













[th]الجمع[/th][th]الضرب[/th][th]الانغلاق:[/th][th]التجميعية:[/th][th]التبديلية:[/th][th]وجود العنصر المحايد:[/th][th]وجود العنصر المعاكس:[/th][th]توزيعية الضرب على الجمع:[/th][th]لا وجود لقواسم للصفر:[/th]

a + b   عدد صحيح	a × b   عدد صحيح
a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
a + 0  =  a	a × 1  =  a
a + (−a)  =  0	العنصر المعاكس عادة ما يكون غير موجود على الإطلاق.
a × (b + c) = a × b + a × c   و   (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
	إذا كان a × b = 0, فإن a = 0 أو b = 0 (أو كلاهما معا يساوي الصفر)

[rtl]
خصائص نظرية أخرى[عدل]
مجموعة الأعداد الصحيحة[عدل]
تنقسم مجموعة الأعداد الصحيحةإلى ثلاثة أقسام وهي :
مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Z+[عدل]
والمقصود بها أيضا مجموعة أعداد العد حيث تبدأ من العدد 1 إلى مالانهاية أى :Z+ ={10،9،8،7،6،5،4،3،2،1،....} وهى الأعداد التي تستخدم في عد الإشياء وللدلالة عليها نضع بعض المعادلات مثل :
[/rtl]




[th]المعادلة[/th][th]معناها[/th]

ع = Z+	مجموعة أعداد العد هي Z+
Z+ = N - {0}	الفرق بين مجموعة الأعداد الطبيعية N ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة هو الصفر

[rtl]
مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة Z-[عدل]
والمقصود بها هي مجموعة الأعداد المقابلة لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة فمثلا 4 مقابلها 4- وتبدأ من إلى مالانهاية إلى -1
الصفر[عدل]
على خط الأعداد نقوم بتوزيع الأعداد الصحيحة كالآتى
[/rtl]

1. مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة على اليمين
   
   
2. مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة على اليسار
   
   
3. يوجد الصفر بين مجموعتى الأعداد السالبة والموجبة أى باختصار الصفر محايد بين المجموعتين بلا هو سالب ولا هو موجب ويوضع بالمنتصف بين المجموعتين ويرمز له بالرمز (و) وصل لأنه يوصل بين مجموعة الأعداد الصحيحية الموجبة والسالبة.
   

[rtl]
ملحوظات[عدل]
[/rtl]

1. كل عدد صحيح موجب أكبر من كل عدد صحيح سالب لأنه من قواعد خط الأعداد أن الأعداد التي على اليمين أكبر من التي على اليسار.
   
   
2. الصفر ليس عددا صحيحا موجبا وليس عددا صحيحا سالبا.
   
   
3. أصغر عدد صحيح موجب هو 1 وأكبر صحيح موجب غير معروف هويته لأنه في أقصى اليمين في خط الأعداد.
   
   
4. أصغر عدد صحيح سالب غير معروف لأنه في أقصى اليسار في خط الأعداد وأكبر عدد صحيح سالب هو -1.
   

[rtl]
الإشارة[عدل]
تتميز الأعداد الصحيحة بوجود إشارات توضع على يسارها. فالإعداد الموجبة توضع لها إشارة (+) والسالبة توضع لها إشارة (-) والصفر ليس له إشارة وكذلك فإنه من الاختصارات عدم وضع إشارة (+) على الأعداد الموجبة لأنها في نفس الوقت أعداد عد وأعداد العد لا نضع فيها إشارة موجب ولكن يجب وضع إشارة (-) على الأعداد السالبة للتفريق بينها وبين الأعداد الموجبة.
العمليات الحسابية على Z[عدل]
الجمع[عدل]
مجموع عددين صحيحين موجبين هو عدد صحيح موجب. فمثلا 3 + 6 = 9 تنتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ومجموع عددين صحيحن سالبين هو عدد صحيح سالب. فمثلا 6- + 4- = -10 تنتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة السالبة.
عند جمع عددين صحيحين أحدهما سالب والآخر موجب فإن الناتج يكون إشارته إشارة العدد الكبير من حيث القيمة المطلقة ويكون العدد الفرق بينهما. مثال : 3 + -7. العدد الكبير بين العددين من حيث القيمة المطلقة هو -7 وإشارته (-) معنى ذلك أن الناتج عدد سالب والناتج يكون الفرق بين العددين (يطرح العددين بحيث يكونا الإثنين موجبين لأن إشارة -7 أخذها الناتج وصار عددا موجبا) هو 4 إذا الناتج = -4
الطرح[عدل]
الطرح في مجموعة الأعداد الصحيحة هو جمع المعكوس الجمعى فمثلا : 4 - (-3) = 4 + 3 = 7.
فعندما يكون هناك عملية طرح فإننا نقوم بتغيير علامة الطرح ونجعلها جمعا ونغير إشارة العدد ونقوم بعملية الجمع. ومن خصائص الطرح في Z ما يلي:
[/rtl]

1. الانغلاق : حاصل طرح أى عددين صحيحين يساوى عددا صحيحا.
   
   
2. الإبدال : إذا طرحنا 4 - (- 7) = 4 + 7 = 11 فإذا عكسنا المسألة فستكون (-7) - 4 = (-7) + (-4) = -11 أى أن الناتجين اختلفا إذا عملية الطرح غير إبدالية في Z
   
   
3. التجميعية : إذا طرحنا 4 - (- - 9 فإننا لو دمجناها فسوف يكون :
   

[rtl]
(4 - (-) - 9 = 4 + 8 - 9 = 12 - 9 = 3
أو : 4 - (-8 - 9) = 4 - (-8 + (-9) = 4 - (- 17) = 4 + 17 = 21 إذا الناتجان اختلفا معنى ذلك أن عملية الجمع دامجة في Z.
الضرب والقسمة[عدل]
[/rtl]

• جداء عددين صحيحين موجبين عدد موجب. مثل 7 × 5 = 35، 35 عدد موجب.
  
  
• جداء عددين صحيحين سالبين عدد موجب. -3 × -6 = 18، 18 عدد موجب.
  
  
• جداء عددين صحيحين أحدهما سالب والآخر موجب عدد سالب. فمثلا 3 × -4 = - 12، -12 عدد سالب.
  

[rtl]
قواعد إشارات عملية القسمة تشبه عملية الضرب تماما.
[/rtl]