زمرة (رياضيات) (4)

التطابق يترك كل عنصر على حاله	r₁ (الدوران ب 90° يمينا)	r₂ (الدوران ب 180° يمينا)	r₃ (الدوران ب 270° يمينا)
f_v (vertical flip)	f_h (horizontal flip)	f_d (diagonal flip)	f_c (counter-diagonal flip)
عناصر زمرة التماثل للمربع (D₄). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.

التاريخ[عدل]

مقالة مفصلة: تاريخ نظرية الزمر

تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقا من مجموعة من مجالات الرياضيات. أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست جالوا والذي عاش في القرن التاسع عشر، مطورا أعمال كل من باولو روفيني وجوزيف لاغرانج، أعطى معيار قابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظرإلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، تتطابق مع تباديلٍ ما للجذور. في البداية، أفكار غالوا رُفضت من طرف معاصريه، ولم تنشر إلا بعد وفاته. درست زمر التبديل الأكثر تعميما, فيما بعد, وبشكل خاص من طرف أوغستين لوي كوشي.أرثور كايلي في كتابه حول نظرية الزمر، لكونها تتعلق بالمعادلة الرمزية θⁿ = 1, (المنشور عام 1854), أعطى أول تعريف مجرد للزمر المنتهية.
كانت الهندسة الرياضية المجال الثاني حيث تستعمل الزمر بشكل منهجي, وخصوصا زمر التماثل كجزء من برنامج ارلنغن، عمل نشره فيليكس كلاين عام 1872. بالإضافة إلى تطوير سوفوس لي لجميع هاته الأفكار، فلقد أسس دراسة زمر لي. كان ذلك عام 1884.
أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر، فهو نظرية الأعداد. بُنى بعض الزمر الأبيلية استعملت بصفة غير مقصودة في عمل كارل فريدريش غاوس حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان استفسارات حسابية (عام 1798) ; كما استعملت أيضا بصفة مقصودة من طرف ليوبلد كرونكر. في عام 1847، كان إرنشت كومرم بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة, وذلك بتطوير زمر تصف تفكيك عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
اقتراب واندماج مختلف هاته المصادر لتشكل نظرية متماسكة للزمر ابتدأ مع مجيىء كامي جوردان وعمله معالجة الاستبدالات والمعادلات الجبرية. كان ذلك في عام 1870.
النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر[عدل]

مقالة مفصلة: نظرية الزمر الابتدائية

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المقابلة[عدل]
للبديهيات المعرِفة للزمر نتيجتان مهمتان هما : وحدة العنصر المحايد ووحدة العنصر المقابل. لا يمكن لزمرة ما أن تحتوي إلا على عنصر محايد واحد. وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرا مقابلا واحدا بالظبط (لا يمكن له أن لا يملك نهائيا عنصرا مقابلا ولا يمكن له أن يملك عنصرين مقابليان فأكثر)
القسمة[عدل]
في الزمر، يمكن القيام بعملية القسمة : ليكن a و b عنصرين من الزمرة G، إذن هناك حل وحيد x للمعادلة x • a == b. فعليا, ضرب حدي هاته المعادلة بالعنصر a⁻¹ من الجهة اليمنى يعطي الحل x = x • a • a⁻¹ == b • a⁻¹
المفاهيم الأساسية[عدل]
أمثلة وتطبيقات[عدل]

مقالات مفصلة: أمثلة للزمر
تطبيقات نظرية الزمر

الأعداد[عدل]
مجموعة من أنظمة الأعداد، كنظامي الأعداد الصحيحة والأعداد الجذرية تتمتع ببُنى الزمر. في حالات معينة، كما هو الحال بالنسبة إلى الأعداد الجذرية، كل من عمليتي الجمع والضرب يمثل بنية زمرة. تمثل هذه الأنظمة القاعدة التي وضعت على بُنى جبرية أخرى أكثر عمومية هي الحلقات والحقول.
الأعداد الصحيحة[عدل]
وصفت زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع أعلاه. ويرمز إليها ب (+ ,Z). مجموعة الأعداد الصحيحة بالنسبة إلى عملية الضرب لا تمثل زمرة : بديهيات الانغلاق والتجميعية والعنصر المحايد كلها محققة، ولكن بديهية العنصر المقابل غير محققة. فعلى سبيل المثال، a = 2 هو عدد صحيح، ولكن العنصر المقابل له هو العدد الذي يحقق المعادلة a · b = 1 هو b = 1/2. وهو عدد غير صحيح ولكنه جذري. هكذا ليس لكل عنصر من Z مقابل تحت عملية الجداء.