زمرة الرياضيات (4)

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر[عدل]

مقالة مفصلة: نظرية الزمر الابتدائية

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المقابلة[عدل]
للبديهيات المعرِفة للزمر نتيجتان مهمتان هما : وحدة العنصر المحايد ووحدة العنصر المقابل. لا يمكن لزمرة ما أن تحتوي إلا على عنصر محايد واحد. وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرا مقابلا واحدا بالظبط (لا يمكن له أن لا يملك نهائيا عنصرا مقابلا ولا يمكن له أن يملك عنصرين مقابليان فأكثر)
القسمة[عدل]
في الزمر، يمكن القيام بعملية القسمة : ليكن a و b عنصرين من الزمرة G، إذن هناك حل وحيد x للمعادلة x • a == b. فعليا, ضرب حدي هاته المعادلة بالعنصر a⁻¹ من الجهة اليمنى يعطي الحل x = x • a • a⁻¹ == b • a⁻¹
المفاهيم الأساسية[عدل]
أمثلة وتطبيقات[عدل]

مقالات مفصلة: أمثلة للزمر
تطبيقات نظرية الزمر

الأعداد[عدل]
مجموعة من أنظمة الأعداد، كنظامي الأعداد الصحيحة والأعداد الجذرية تتمتع نبُنى الزمر. في حالات معينة، كما هو الحال بالنسبة إلى الأعداد الجذرية، كل من عمليتي الجمع والضرب يمثل بنية زمرة. تمثل هذه الأنظمة القاعدة التي وضعت على بُنى جبرية أخرى أكثر عمومية هي الحلقات والحقول.
الأعداد الصحيحة[عدل]
وصفت زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع أعلاه. ويرمز إليها ب (+ ,Z). مجموعة الأعداد الصحيحة بالنسبة إلى عملية الضرب لا تمثل زمرة : بديهيات الانغلاق والتجميعية والعنصر المحايد كلها محققة، ولكن بديهية العنصر المقابل غير محققة. فعلى سبيل المثال، a == 2 هو عدد صحيح، ولكن العنصر المقابل له هو العدد الذي يحقق المعادلة a · b = 1 هو b == 1/2. وهو عدد غير صحيح ولكنه جذري. هكذا ليس لكل عنصر من Z نظير من حيث الجداء.
الأعداد الجذرية[عدل]
الزمر الدائرية[عدل]

مقالات مفصلة: زمرة دائرية
زمرة أبيلية

الجذور العقدية الست من الدرجة السادسة للوحدة تكون زمرة دائرية في إطار عملية الضرب. يعتبر z عنصرا بدائيا بينما z² ليس كذلك لأن القوى الفردية ل z ليست قوى ل z².

زمرة دائرية هي زمرة جميع عناصرها هي قوى لعنصر a ما. باستعمال الرموز المعتمدة على الجداء، فإن عناصر الزمرة هي :
..., a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰ = e, a, a², a³,...
حيث a² تعني a • a.
هذا العنصر يسمى العنصر المولد للزمرة.
المثال النوعي لهذا الصنف من الزمر هو الزمرة المكونة من الجذور العقدية للوحدة من الدرجة n واللائي يعطيها العدد العقدي z الذي يحقق المعادلة zⁿ = 1 وحيث عملية الزمرة هو الجداء. كل زمرة دائرية عدد عناصرها هو n, مرتنطة بهدة الزمرة السابقة الذكر، بتطبيق مساوي للقياس.
بعض الزمر الدائرية لها عدد غير منته من العناصر. في هذه الزمر، بالنسبة لكل عنصر a مختلف عن الصفر، جميع قوى a مختلفة عن بعضها البعض. رغم استعمال مصطلح دائري، فإن عناصر الزمرة لا تدور، كما هو الحال بالنسبة لزمرة جذور الوحدة المشار إليها أعلاه.
زمر التماثل[عدل]

مقالة مفصلة: زمرة التماثل