زمرة الرياضيات

زمرة (رياضيات)



[rtl] ميز عن مجموعة (رياضيات).
[/rtl][th]مفهوم رياضي[/th]

المسمى العربي	زمرة أو مجموعة
المسمى اللاتيني	Group
الرمز العربي	غير معرف
الرمز اللاتيني
رياضيون	إيفاريست جالوا
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
كتب ومراجع

[rtl][font]
في الرياضيات، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية وتحقق مجموعة من الشروط أو البدبهيات. مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعملية الجمع وتعتبر مثالا للزمر. تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست جالوا في عام 1830، وهي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى يكون كثير حدود أو معادلة جبرية قابلا للحلحلة أي له حلول أو جذور. قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسةالتباديل.

[/font][/rtl]

1 تعريف وتوضيح



• 1.1 المثال الأول : الأعداد الصحيحة
  
• 1.2 تعريف
  
• 1.3 المثال الثاني : زمرة التماثل
  


2 التاريخ

3 النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر



• 3.1 وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المقابلة
  
• 3.2 القسمة
  


4 المفاهيم الأساسية

5 أمثلة وتطبيقات



• 5.1 الأعداد
  
  
  
  • 5.1.1 الأعداد الصحيحة
    
  • 5.1.2 الأعداد الجذرية
    
  
  
• 5.2 الزمر الدائرية
  
• 5.3 زمر التماثل
  
• 5.4 الزمر الخطية العامة ونظرية التمثيل
  
• 5.5 زمر غالوا
  


6 الزمر المنتهية



• 6.1 تصنيف الزمر البسيطة المنتهية
  


7 زمر ببُنى إضافية



• 7.1 زمر طوبولوجية
  
• 7.2 زمر لي
  


8 تعميمات

9 انظر أيضا

10 هامش

11 مراجع



• 11.1 مراجع عامة
  
• 11.2 مراجع خاصة
  
• 11.3 مراجع تاريخية
  

[rtl][font]

تعريف وتوضيح[عدل]
المثال الأول : الأعداد الصحيحة[عدل]
واحدة من أهم الزمر الاعتيادية هي مجموعة الأعداد الصحيحة Z والتي تتكون من الأعداد التالية :
..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- , ...^[1]
الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات المجردة للزمر.
[/font][/rtl]

1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددا غير صحيح. تعرف هاته الخاصية باسم الانغلاق بالنسبة للجمع.
   
2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c = a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم التجميعية.
   
3. إذا كان a عددا صحيحا، فإن a + 0 = 0 + a = a. الصفر يسمى عنصرا محايدا.
   
4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b = b + a = 0. العدد الصحيح b يسمى العنصر النظير للعدد a ويُرمز إليه ب a-.
   

[rtl][font]
تعريف[عدل]
الزمرة أو المجموعة الوظيفية^{[بحاجة لمصدر]} في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة  مزودة بعملية ثنائية يرمز لها ب  ¹ بحيث يربط كل ثنائية مرتبة من عناصر  عنصر  من  بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:
أن مجموعة ما  من  تسمى زمرة، مع وجود عملية رياضياتية خاصة (.) تدعى "تكوين الزمرة" (Group Composition)، إذا تحقق ما ياتي:
[/font][/rtl]

1. الانغلاق: وهو أن نتيجة تطبيق العملية على عناصر من الزمرة تنتمي للزمرة نفسها. 
   
2. التجميع: 
   
3. وجود العنصر الحيادي (قد يسمى العنصر المحايد) : 
   
4. وجود العنصر النظير أو المتمم أو العكسي : 
   

[rtl][font]
تدعى الزمرة أبيلية (نسبة لعالم الرياضيات نيلس هنريك أبيل) إذا حققت شرطا إضافيا هو شرط التبديل (أو الإبدال أو التبادلية): 
المثال الثاني : زمرة التماثل[عدل]
[/font][/rtl]

التطابق يترك كل عنصر على حاله	r1 (الدوران ب 90° يمينا)	r2 (الدوران ب 180° يمينا)	r3 (الدوران ب 270° يمينا)
fv (vertical flip)	fh (horizontal flip)	fd (diagonal flip)	fc (counter-diagonal flip)
عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.

[rtl][font]
التاريخ[عدل]
[/font][/rtl]

•  مقالة مفصلة: تاريخ نظرية الزمر
  

[rtl][font]

تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقا من مجموعة من مجالات الرياضيات. أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست جالوا والذي عاش في القرن التاسع عشر، مطورا أعمال كل من باولو روفيني وجوزيف لاغرانج، أعطى معيار قابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظرإلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، تتطابق مع تباديلٍ ما للجذور. في البداية، أفكار غالوا رُفضت من طرف معاصريه، ولم تنشر إلا بعد وفاته. درست زمر التبديل الأكثر تعميما, فيما بعد, وبشكل خاص من طرف أوغستين لوي كوشي.أرثور كايلي في كتابه حول نظرية الزمر، لكونها تتعلق بالمعادلة الرمزية θⁿ = 1, (المنشور عام 1854), أعطى أول تعريف مجرد للزمر المنتهية.
كانت الهندسة الرياضية المجال الثاني حيث تستعمل الزمر بشكل منهجي, وخصوصا زمر التماثل كجزء من برنامج ارلنغن، عمل نشره فيليكس كلاين عام 1872. بالإضافة إلى تطوير سوفوس لي لجميع هاته الأفكار، فلقد أسس دراسة زمر لي. كان ذلك عام 1884.
أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر، فهو نظرية الأعداد. بُنى بعض الزمر الأبيلية استعملت بصفة غير مقصودة في عمل كارل فريدريش غاوس حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان استفسارات حسابية (عام 1798) ; كما استعملت أيضا بصفة مقصودة من طرف ليوبلد كرونكر. في عام 1847، كان إرنشت كومرم بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة, وذلك بتطوير زمر تصف تفكيك عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
اقتراب واندماج مختلف هاته المصادر لتشكل نظرية متماسكة للزمر ابتدأ مع مجيىء كامي جوردان وعمله معالجة الاستبدالات والمعادلات الجبرية. كان ذلك في عام 1870.
[/font][/rtl]