يساوي7
أهلا وسهلا بك عزيزي الزائر في منتدى يساوي7 للرياضيات
يمكنك التسجيل لدينا من خلال هذه النافذة لتستفيد أكثر من المواضيع المطروحة
وشكرا جزيلا لك

العدد الاولي (6)

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل

العدد الاولي (6)

مُساهمة من طرف محمد جهاد الجبارين في الجمعة نوفمبر 29, 2013 3:03 pm

عدد أولي

(بالتحويل من العدد الأولي)

[rtl]العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعا من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعا من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد : كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هاته المجموعة). هاته المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.
لتحديد أولية عدد ما، توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة وتتمثل في قسمة هذا العدد علي الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. بحلول عام 2011، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 13 مليون رقما.[1]
مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حوله النظريات. أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية, والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أوليا، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغارتم الطبيعي ل n.
خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعا من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين, وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته, مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. السبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال. كانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. تستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. تعتمد أساسا هاته التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.

[/rtl]
[rtl]محتويات
  [أخف[/rtl]










  • 1 تعريف وأمثلة
  • 2 المبرهنة الأساسية في الحسابيات

    • 2.1 هل العدد 1 عدد أولي ؟











  • 3 التاريخ
  • 4 عدد الأعداد الأولية

    • 4.1 برهان أقليدس
    • 4.2 برهان أويلر التحليلي











  • 5 اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية

    • 5.1 عن طريق القسمة المتكررة
    • 5.2 الغرابيل
    • 5.3 اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
    • 5.4 خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف
    • 5.5 تعميل الأعداد الصحيحة











  • 6 التوزيع

    • 6.1 صيغ الأعداد الأولية
    • 6.2 عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين
    • 6.3 المتتاليات الحسابية
    • 6.4 القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية











  • 7 مسائل لم تحل بعد

    • 7.1 دالة زيتا وفرضية ريمان
    • 7.2 حدسيات أخرى











  • 8 خصائص الأعداد الأولية
  • 9 تطبيقات

    • 9.1 الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية
    • 9.2 التشفير باستخدام المفتاح المعلن
    • 9.3 الأعداد الأولية في الطبيعة











  • 10 تعميمات

    • 10.1 العناصر الأولية في الحلقات
    • 10.2 المثالي الأولي











  • 11 في الفنون والأدب
  • 12 انظر أيضا
  • 13 مصادر
  • 14 وصلات خارجية
[rtl]

تعريف وأمثلة[عدل]
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 وغير أولية قد تسمى أعدادا مركبة (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).
من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
[/rtl]


العدد 12 غير أولي, لأنه يمكن ترتيب اثني عشر عنصرا على شكل ثلاث أعمدة متساوية يحتوي كل واحد منها على أربع عناصر (شكل واحد من بين أشكال أخرى). لا يمكن لأحد عشر عنصرا أن ترتب على شكل أعمدة متساوية يكون طول الواحد منها أكبر قطعا من 1, في جميع الحالات يبقى عدد إضافي (مثل باللون البرتقالي). هذا العدد يسمى الباقي. لهذا السبب فإن 11 عدد أولي.
[rtl]
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداءا a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
المبرهنة الأساسية في الحسابيات[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةالمبرهنة الأساسية في الحسابيات
[rtl]
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات, والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هاته المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،

[/rtl]










23244= 2 · 2 · 3 · 13 · 149
= 22 · 3 · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أو القوة الثانية ل 2.
[rtl]

هل العدد 1 عدد أولي ؟[عدل]
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضياتهنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالةمؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
التاريخ[عدل]
[/rtl]


غربال إراتوستينس خوارزمية بسيطة تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي معين. ابتُكرت في القرن الثالث قبل الميلاد من طرف إراتوستينسرياضياتي قديم يوناني. (انقر من أجل النظر إلى الصورة المتحركة.)
[rtl]
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية، مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأن الأعداد الأولية. وقام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون.
بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر).
عدد الأعداد الأولية[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةمبرهنة إقليدس
[rtl]

يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة

2, 3, 5, 7, 11, 13,...
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هاته المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلروبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرماوبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
برهان أقليدس[عدل]
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هاته الأعداد، أضيف إليه 1.

برهان أويلر التحليلي[عدل]
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي :

هاته المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة

لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.

هو عدد منته.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية[عدل]
هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.
عن طريق القسمة المتكررة[عدل]
الطريقة الأكثر بساطة, والأكثر سهولة من حيث الفهم, من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.
الغرابيل[عدل]
[/rtl]


خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانيةإراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).
[rtl]
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.
اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك[عدل]
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p, إذن :
عكس المبرهنة خاطئ, مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561, لدينا 
لكن يمكن مع ذلك كتابة:
إذا كان p غير أولي فإن  متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.
برمجة التشفير PGP, تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: , فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةملحق:قائمة الأعداد الأولية
[rtl]

تعميل الأعداد الصحيحة[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةتحليل عدد صحيح
[rtl]
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
[/rtl]


  • اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما,

  • طريقة اريتاسثونيس,

  • اختبار فيرما المرتبط بمبرهنة فيرما الصغرى.
[rtl]
التوزيع[عدل]
صيغ الأعداد الأولية[عدل]
عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةمبرهنة الأعداد الأولية




خارطة تصف (π(n (لون أزرق)، (n / ln (n (لون أخضر) و(Li (n، التكامل اللغواريتمي المزاح (لون أحمر)
[rtl]
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.
بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياًSadπ(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من nتتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n.
المتتاليات الحسابية[عدل]
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،
3, 12, 21, 30, 39,...,
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن
(1 + 9n + 3 = 3(3n
انظر مبرهنة غرين-تاون.
القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية[عدل]
[/rtl]


حلزونية أولام. النقط الحمراء تدل على الأعداد الأولية. بُينت الأعداد الأولية التي تكتب على الشكل 4n2 − 2n + 41 باللون الأزرق.
[rtl]
لاحظ أويلر أن الدالة

تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n < 40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
مسائل لم تحل بعد[عدل]
دالة زيتا وفرضية ريمان[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةفرضية ريمان



تبيان لدالة زيتا (ζ(s. عندما يساوي s واحدا, تؤول الدالة إلى ما لانهاية له.
[rtl]
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته :

حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي :
 حيث p عدد أولي.
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.
حدسيات أخرى[عدل]
[/rtl]

  • مقالة مفصلةتصنيف:حدسيات حول الأعداد الأولية
[rtl]

بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد بيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.
من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي:
[/rtl]


  • حدسية التوأمين الأولية
[rtl]
خصائص الأعداد الأولية[عدل]
[/rtl]


  • أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.

  • كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.

  • إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.

  • إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية, هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم).
[rtl]
تطبيقات[عدل]
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، كجزء من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين, حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل كقاعدة لبناء خوارزمياتالتشفير باستخدام المفتاح المعلن.
الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية[عدل]
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما, الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط

حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من, أو يساوي n، عوضت بباقيقسمتها على العدد n.
التشفير باستخدام المفتاح المعلن[عدل]
[/rtl]

    [*:3cc0]مقالة مفصلةتشفير باستخدام المفتاح المعلن
    [/li

محمد جهاد الجبارين
عضو متقدم
عضو متقدم

عدد المساهمات : 1448
تاريخ التسجيل : 11/11/2013
العمر : 15
الموقع : الدوارة\سعير \ الخليل
العمل/الترفيه العمل/الترفيه : طالب مجتهد
المزاج المزاج : ممتاز

معاينة صفحة البيانات الشخصي للعضو

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة


 
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى