يساوي7
أهلا وسهلا بك عزيزي الزائر في منتدى يساوي7 للرياضيات
يمكنك التسجيل لدينا من خلال هذه النافذة لتستفيد أكثر من المواضيع المطروحة
وشكرا جزيلا لك

انضم إلى المنتدى ، فالأمر سريع وسهل

يساوي7
أهلا وسهلا بك عزيزي الزائر في منتدى يساوي7 للرياضيات
يمكنك التسجيل لدينا من خلال هذه النافذة لتستفيد أكثر من المواضيع المطروحة
وشكرا جزيلا لك
يساوي7
هل تريد التفاعل مع هذه المساهمة؟ كل ما عليك هو إنشاء حساب جديد ببضع خطوات أو تسجيل الدخول للمتابعة.

العدد المركب

اذهب الى الأسفل

العدد المركب Empty العدد المركب

مُساهمة من طرف محمد جهاد الجبارين الجمعة نوفمبر 29, 2013 2:52 pm

عدد مركب

(بالتحويل من عدد تخيلي)

[rtl]العدد المركب 20px-Disambigua_compass.svg ميز عن مركب دالة.
[/rtl]
العدد المركب 220px-Complex_number_illustration.svg
العدد المركب Magnify-clip-rtl
يمكن أن يُمثل عدد مركب على شكل زوج من الأعداد الحقيقية (a, b) مكونا بذالك متجهة على مخطط يسمى مخطط أرغند, ممثلا المستوى العقدي. "Re" هو محور الأعداد الحقيقية, "Im" هو محور الأعداد التخيلية, و i هو الوحدة التخيلية والتي تحقق المعادلة i2 = −1.
[rtl]
العدد المركب أو العدد العقدي هو أي عدد يُكتب على الصورة العدد المركب 727e53935609b0d7b953b6718180201f حيث العدد المركب 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661 و العدد المركب 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f عددان حقيقيان و العدد المركب 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741 عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن i² = -1) ويسمى وحدة تخيلية. ويسمي العدد الحقيقي العدد المركب 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661 بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي العدد المركب 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد مركب، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و 2 هو الجزء التخيلي.
و عندما يكون "b" (أي الجزء التخيلي) مساويا ل 0، فإن قيمة العدد المركب تساوي قيمة الجزء الحقيقي "a" فقط ، ويسمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا. وعندما يكون "a" (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـًا صرفـًا.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة كالجمع والطرح والضرب والقسمة بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصةً في عملية القسمة. ولكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

[/rtl]
[rtl]محتويات
  [أخف[/rtl]




  • 1 نظرة شاملة

    • 1.1 تعريف
    • 1.2 المستوى العقدي





  • 2 العمليات الأساسية

    • 2.1 مرافق عدد مركب
    • 2.2 الجمع والطرح
    • 2.3 الضرب والقسمة
    • 2.4 الجذر التربيعي





  • 3 تمثيل الأعداد المركبة

    • 3.1 التمثيل الجبري
    • 3.2 التمثيل الهندسي
    • 3.3 التمثيل الأسي
    • 3.4 فهم الأعداد المركبة





  • 4 الخصائص

    • 4.1 بنية الحقل
    • 4.2 حلول المعادلات الحدودية





  • 5 التحليل العقدي

    • 5.1 الدوال التامة الشكل





  • 6 لحق نقطة ولحق متجهة
  • 7 تطبيقات

    • 7.1 نظرية التحكم
    • 7.2 جريان الموائع
    • 7.3 معالجة الإشارة
    • 7.4 الهندسة الرياضية

      • 7.4.1 الهندسة الكسيرية
      • 7.4.2 المتلثات





    • 7.5 نظرية الأعداد الجبرية
    • 7.6 نظرية الأعداد التحليلية





  • 8 التاريخ
  • 9 تعميمات ومفاهيم متعلقة بالأعداد المركبة
  • 10 انظر أيضا
  • 11 مراجع
  • 12 وصلات خارجية
[rtl]

نظرة شاملة[عدل]
تمنح الأعداد العقدية حلولا لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية : المعادلة
العدد المركب 40087b9e6605c08d6348bb758d7faf14
لا تقبل أي حل حقيقي لأن مربع عدد حقيقي إما يساوي الصفر أو هو موجب. الأعداد المركبة تمنح حلحلة لهاته المعضلة. الفكرة هي تمديد الأعداد الحقيقية بالوحدة التخيلية i حيث العدد المركب 685245741281622a3f11315dfd81cd98, مما يمكن من إيجاد حل للمعادلة السابقة. في هذه المعادلة الحل هو −1 ± 3i. هكذا، ليس فقط تصبح جميع المعادلات التربيعية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة، بل أيضا، تصبح جميع المعادلات الحدودية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة باستعمال الأعداد العقدية.
تعريف[عدل]
[/rtl]
العدد المركب 170px-Complex_conjugate_picture.svg
العدد المركب Magnify-clip-rtl
بيان للمستوى العقدي. الجزء الحقيقي لعدد مركب z = x + iy هو x, وجزءه التخيلي هو y.
[rtl]
عدد مركب هو عدد يُكتب على الشكل التالي :
العدد المركب F8927b3b6c75623436ef34aca055e0bf
حيث a و b عددان حقيقيان و i هي الوحدة التخيلية, وتحقق i2 = −1. على سبيل المثال، العدد المركب 47437ea6201fc9e86689df7d76c4b0c7 هو عدد عقدي. عادة، يُشار إلى العدد العقدي العدد المركب 445ee16776f4035bdfd3cea4d97e1008 ب a وإلى العدد العقدي العدد المركب F4a41d08b5248fa76fc84b1aa9d52ceb ب العدد المركب D2551516751f181fef655fb2f0cfb018. بالإضافة إلى ذلك، عندما يكون الجزء التخيلي سالبا، يكتب العدد العقدي على شكل العدد المركب 8cfbefca7006c91e118bf62e953d36aa حيث b موجب بدلا من العدد المركب 3bdbf82a2cca3741754d40aae7bfb318. على سبيل المثال، يُكتب العدد المركب Ec6608b09d7aa5eca0efdae7240815a3 بدلا من العدد المركب 28aad6c4f4340a4373333d50793807c6.
رمز مجموعة الأعداد العقدية هو العدد المركب 39652eaf6bb68bf9769f17cb8088fece أو العدد المركب 84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.
العدد الحقيقي a الذي يظهر في تعريف العدد العقدي z = a+ bi يسمى الجزء الحقيقي ل z، بينما يسمى b الجزء التخيليل z. هكذا، الجزء التخيلي لعدد عقدي ما، هو عدد حقيقي (لا يتضمن الوحدة التخيلية) : الجزء التخيلي ل z هو b وليس bi. يُرمز للجزء الحقيقي ب (Re(z أو (ℜ(z, ويُرمز إلى الجزء التخيلي ب (Im(z أو (ℑ(z. على سبيل المثال،,
العدد المركب 61bbf324809823dc26106a9213bd34d7العدد المركب 73cb6d30e360664bb793fcfd174c0e6b
أحيانـًا, يُكتب العدد المركب z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، وذلك باستخدام الرمز "j" بدلا من "i"، لأن "i" هو رمز التيار الكهربي)
المستوى العقدي[عدل]
[/rtl]

  • العدد المركب 18px-Crystal_Clear_app_kdictمقالة مفصلةالمستوى العقدي

العدد المركب Complex_number_illustration
العدد المركب Magnify-clip-rtl
رُسم عدد عقدي على شكل نقطة (باللون الأحمر) وعلى شكل متجهة (باللون الأزرق) في رسم أرغند البيانيالعدد المركب 3de90564c61daf602b582735803fed9c التعبير المستطيلي للنقطة.
[rtl]
يمكن أن يُنظر إلى عدد عقدي على أنه نقطة أو متجه ينطلق من أصل المَعلم في نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد يسمى المستوى العقدي أو رسم أرغند البياني, المسمى هكذا إلى جون روبرت أرغند. عادة ما يُرسم الجزء الحقيقي لعدد عقدي على المحور الأفقي بينما يُرسم جزؤه التخيلي على المور العمودي.
العمليات الأساسية[عدل]
نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقة العدد المركب 0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886 يمكن تطبيقها على الأعداد المركبة. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:
مرافق عدد مركب[عدل]
مرافق العدد المركب العدد المركب 308d101357a09d7074149a09722dbc41 هو العدد المركب العدد المركب 41a4d81f7612a84a6d11549a2b3b019b. يُرمز لمرافق العدد المركب العدد المركب Fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7 بالرمز العدد المركب 50041ea29dedb15e50625fe5a8955b15. هندسيا، العدد المركب 50041ea29dedb15e50625fe5a8955b15 هو انعكاس العدد المركب Fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7 حول محور الأعداد الحقيقية. هكذا محاولة الحصول على مرافق مرافق عدد مركب ما تعطي العدد ذاته : العدد المركب 06de6996b2d7e58d507ae703e23864e3.
يمكن أن يستخلص الجزءان الحقيقي والتخيلي انطلاقا من مرافق عدد مركب ما، كما تبين المعادلتان التاليتان :
العدد المركب F81783ec8b0bea472a256602a247ad96العدد المركب 98fd95d11d41dbfe14a109ec5464ac99
بالإضافة إلى ذلك، فإن عددا مركبا ما حقيقيٌ إذا وفقط إذا كان مساويا لمرافقه.
البحث عن المرافق يتوزع على العمليات الحسابية الاعتيادية كما تبين المعادلات التالية:
[/rtl]


  • العدد المركب 53b23042e260dcb0100afef05a9c1ec8 أي أن مرافق مجموع عددين مركبين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع.

  • العدد المركب Dbc0647dc9810814564b145f676bdbe7 أي أن مرافق حاصل ضرب عددين مركبين هو حاصل ضرب المرافقين لهذين العددين.

  • العدد المركب 92103265fca26f6525ed6317b69090e5 أي أن مرافق حاصل قسمة عددين مركبين هو حاصل قسمة المرافقين لهذين العددين.
[rtl]
مقلوب عدد مركب ما مختلف عن الصفر العدد المركب F6c1f1fcb3afd7effa0fb8e971d35fe5، هو :
العدد المركب D3ece7ec05c68515356fdbdb3762ead1
لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من البسط والمقام في العدد المرافق للمقام.
الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يسمى معيار العدد المركب.
الجمع والطرح[عدل]
[/rtl]
العدد المركب 200px-Vector_Addition.svg
العدد المركب Magnify-clip-rtl
يمكن أن يُجمع عددان مركبان بطريقة هندسية وذلك بإنشاء متواز للأضلاع.
[rtl]
تتم عملية الجمع كما يلي: العدد المركب 32916340c8d58769954ca4224e93219e
وكذلك عملية الطرح كما يلي: العدد المركب 175a3ac8165bf55006377984e23a3ae9
يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.
الضرب والقسمة[عدل]
تتم عملية الضرب كما يلي:
العدد المركب 7742467a053ae95564aefdc46d7a9e80
تتم عملية القسمة كما يلي:
العدد المركب Ed35e0c0742b80a50498b7e7d74d54b4
الجذر التربيعي[عدل]
انظر أيضا الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية
الجذران التربيعيان للعدد العقدي a + bi (مع b ≠ 0) هما العدد المركب 07dde8f8301835ebc9fc04db3b3d4004 حيث :
العدد المركب Ceebeef3ab2f3432becd76d3e5f06c30
و
العدد المركب E1ee84df6488bb1d27b5ddd1f4b3a644
حيث sgn هي دالة الإشارة.
تمثيل الأعداد المركبة[عدل]
إذا كان z عددا مركبا، و a و b عددين حقيقيين، و i هو الوحدة التخيلية، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:
التمثيل الجبري[عدل]
يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:
العدد المركب 1381a023b7319a87ae19a4903bc72f20
التمثيل الهندسي[عدل]
يكتب العدد على شكل
العدد المركب Fab5d78a9ca53373c54b38981d1bf193
حيث:
العدد المركب B0b1297b9d5b14224db15439085fffadالعدد المركب Ea97053aa0c760ac83fa3a8fff876c76
التمثيل الأسي[عدل]
يكتب العدد على شكل
العدد المركب Af7a3f92077c21f01b6295d8256d157b
حيث:
العدد المركب B0b1297b9d5b14224db15439085fffadالعدد المركب Ea97053aa0c760ac83fa3a8fff876c76
فهم الأعداد المركبة[عدل]
عندما وجد الرياضاياتيون أن المعادلة (x² = -1) مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من وضع حل لها. وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضاتيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نقوله صحيحا أم لا، لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - "ت") بالعربية وباللاتينية العدد ("i"). وتعريف العدد "i" هو الجذر التربيعي للعدد "-1"، وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد "-1" جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد "-5" في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد "i") فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.
الخصائص[عدل]
بنية الحقل[عدل]
حلول المعادلات الحدودية[عدل]
التحليل العقدي[عدل]
[/rtl]
العدد المركب 270px-Sin1perz
العدد المركب Magnify-clip-rtl
Color wheel graph of sin(1/z). الأجزاء السوداء في وسط الصورة تشير إلى أعداد لها قيم مطلقة كبيرة.

  • العدد المركب 18px-Crystal_Clear_app_kdictمقالة مفصلةتحليل عقدي
[rtl]

دراسة الدوال اللائي متغيراتها أعداد مركبة، تسمى التحليل العقدي، وله تطبيقات هائلة في الرياضيات التطبيقية كما في باقي فروع الرياضيات. عادة، البراهين الأكثر بساطة في التحليل الحقيقي وحتى فينظرية الأعداد تستعمل تقنيات مستمدة من التحليل العقدي (انظر مبرهنة الأعداد الأولية على سبيل المثال).

الدوال التامة الشكل[عدل]
يقال عن دالة f : C → C أنها دالة تامة الشكل إذا حققت معادلات كوشي-ريمان. على سبيل المثال، كل تحويل خطي C → C يكتب على الشكل :
العدد المركب B11999cc9e9195ec7d2712e8296e69ec
حيث a و b عددان عقديان. يكون هذا التحويل كامل الشكل إذا وفقط إذا كان b مساويا للصفر.
لحق نقطة ولحق متجهة[عدل]
[/rtl]
العدد المركب 220px-Complex_number.svg
العدد المركب Magnify-clip-rtl
تمثيل هندسي لعدد مركب
[rtl]
المستوى العدد المركب 4bb1ce40c7b49b3734c056a739524d17 منسوب لمعلم متعامد، متجانس (ممنظم) العدد المركب 678950b5a106635133ea457cf70491d2، التطبيق الذي يربط كل عدد مركب العدد المركب 77698ae92ac0435f8da1e266eeb528e3جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها العدد المركب 28da0b2a60d1d778b7254ee9b0c59c36 من العدد المركب 4bb1ce40c7b49b3734c056a739524d17، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب العدد المركب 727e53935609b0d7b953b6718180201f يسمى 'لحق' النقطة M ويرمز له بالرمز العدد المركب F966d6d5eb61cabbb0dc8f488626b175
التطبيق الذي يربط كل عدد مركب جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة العدد المركب 85248fd58a7b80696bd37109be33ec7e من العدد المركب 3fe124eca40749361969424373ff56b2 التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب العدد المركب 727e53935609b0d7b953b6718180201f يسمى 'لحق' المتجهة العدد المركب 85248fd58a7b80696bd37109be33ec7e.
تطبيقات[عدل]
نظرية التحكم[عدل]
نظرية التحكم
جريان الموائع[عدل]
معالجة الإشارة[عدل]
تستعمل الأعداد المركبة في معالجة الإشارة.
الهندسة الرياضية[عدل]
الهندسة الكسيرية[عدل]
عد من الكسيريات يرسم في المستوى العقدي. على سبيل المثال مجموعة ماندلبرو ومجموعات جوليا.
المتلثات[عدل]
نظرية الأعداد الجبرية[عدل]
[/rtl]
العدد المركب Pentagon_construct
العدد المركب Magnify-clip-rtl
إنشاء متعدد منتظم للأضلاع باستعمال الفرجار والمسطرة.
[rtl]
انظر نظرية الأعداد الجبرية وعدد طبيعي غاوسي.
نظرية الأعداد التحليلية[عدل]
تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد الطبيعية والجذرية, مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان ζ(s) بتوزيع الأعداد الأولية.
التاريخ[عدل]
أول إشارة سريعة إلى الجذور المربعة للأعداد السالبة قد تعود إلى أعمال عالم الرياضيات الإغريقي هيرو السكندري, الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد.
انظر إلى جيرولامو كاردانو وإلى المبرهنة الأساسية في الجبر.
[/rtl]
العدد المركب 220px-NegativeOne3Root.svg
العدد المركب Magnify-clip-rtl
الجذور المكعبة الثلاثة ل 1-, اثنان منها أعداد مركبة
[rtl]
تعميمات ومفاهيم متعلقة بالأعداد المركبة[عدل]
[/rtl]
محمد جهاد الجبارين
محمد جهاد الجبارين
عضو متقدم
عضو متقدم

عدد المساهمات : 1448
تاريخ التسجيل : 11/11/2013
العمر : 22
الموقع : الدوارة\سعير \ الخليل
العمل/الترفيه العمل/الترفيه : طالب مجتهد
المزاج المزاج : ممتاز

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

الرجوع الى أعلى الصفحة

- مواضيع مماثلة

 
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى